[obm-l] Mail do David (geometria)

["Bruno F. C. Leite" <bruleite@xxxxxxxxxxxx>]

Oi pessoal

O David est� com problemas com o mail dele e me pediu para mandar a 
mensagem abaixo.

Bruno Leite
http://www.ime.usp.br/~brleite


-----Mensagem original-----
De: David Daniel Turchick <dturchic@colband.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quinta-feira, 28 de Fevereiro de 2002 01:37
Assunto: Re: [obm-l] GEO-prova

Ol�, Josimar.

Corre��ozinha: o quarto Postulado de Euclides diz que todos os �ngulos 
retos s�o congruentes, n�o iguais.
Nota: a defini��o de �ngulo reto � "aquele que � congruente a seu 
suplementar". Algu�m pode pensar "U�, pensava que era 'aquele cuja medida 
em graus � 90'!" OK, mas ent�o vc t� usando o Postulado do Transferidor, 
que vc disse que n�o quer. Esse "postulado" na verdade � um teorema que 
segue da propriedade de Arquimedes, que por sua vez segue do axioma da 
continuidade (de Dedekind).
O quarto Postulado de Euclides � um teorema que s� depende dos axiomas de 
incid�ncia, estar entre e congru�ncia, ent�o vale, al�m de na Geometria 
Euclidiana, na Hiperb�lica, e em Geometrias sem o axioma da continuidade. 
Vou tra�ar um esquema para essa prova me baseando no excelente livro 
"Euclidean and Non-Euclidean Geometries - Development and History", de 
Marvin J. Greenberg. Se est� interessado nos Fundamentos da Geometria, 
realmente esse livro vale a pena!

Def.: ^ABC < ^DEF sse existe uma semi-reta EG entre as semi-retas ED e EF 
tq ^ABC < ^GEF.
Lema 1: a ordem < para �ngulos � completa (ou linear), i.e., tricot�mica 
(^P < ^Q ou ^P ~= ^Q ou ^P > ^Q), anti-sim�trica (se ^P < ^Q, ent�o ^Q !< 
^P) e transitiva (se ^P < ^Q e ^Q < ^R, ent�o ^P < ^R). Tamb�m vale que se 
^P < ^Q e ^Q ~= ^R, ent�o ^P < ^R.
Lema 2: suplementos de �ngulos congruentes s�o congruentes.
Def.: D est� no interior de ^CAB sse C e D est�o no mesmo lado da reta AB e 
B e D est�o no mesmo lado da reta AC. Neste caso, tb dizemos que a 
semi-reta AD est� entre as semi-retas AB e AC.
Lema 3: se D est� no interior de ^CAB e vale C*A*E (A est� entre C e E), 
ent�o B est� no interior de ^DAE.
Agora o 4.o Post. de Euclides:
Sejam ^BAD e ^FEH retos, e ^CAD e ^GEH suplementares seus. Se ^BAD e ^FEH 
n�o fossem congruentes, pelo lema 2, um seria menor que o outro. Sem perda 
de generalidade, seja ^FEH < ^BAD, i.e., existe semi-reta AJ entre AB e AD 
tq ^BAJ ~= ^FEH. Pelo lema 2, ^CAJ ~= ~GEH, e como ^GEH ~= ^FEH, ^CAJ ~= 
^FEH (o 5.o axioma de congru�ncia diz que congru�ncia entre �ngulos � uma 
rela��o de equival�ncia). Logo, ^BAJ ~= ^CAJ. Agora tome semi-reta AK entre 
as semi-retas AD e AC com ^BAJ ~= ^CAK (lema 1). Ent�o, pelo lema 3, ^CAD < 
^CAJ ~= ^CAK < ^CAD, absurdo pelo lema 1.

Boa sorte com os lemas (o 1 � chatinho...)! Espero ter sido razoavelmente 
claro, caso contr�rio avise-me.
-----Mensagem original-----
De: Josimar <josimat@openlink.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Ter�a-feira, 26 de Fevereiro de 2002 17:31
Assunto: [obm-l] GEO-prova

Ol� amigos!

Adaptei o texto que segue para ser colocado num e-mail (sem anexo). 
Digitei-o h� alguns anos, mas com muitos s�mbolos. Algu�m poderia me ajudar 
como o seguinte problema?

[]s, Josimar

PROBLEMA

Apenas com os axiomas e defini��es abaixo, � poss�vel provar o quarto 
postulado de Euclides?

Quarto postulado: "todos os �ngulos retos s�o iguais entre si".

GEOMETRIA NO PLANO

I) AXIOMAS DE INCID�NCIA

Termos primitivos: PONTO, RETA e INCIDENTE.

Consideremos os termos "passar por", "jazer em" e suas variantes como 
sin�nimos de incidentes.

AX(inc) 1 - Para todo ponto P e todo ponto Q distinto de P, existe uma 
�nica reta l incidente em P e Q.

AX(inc) 2 - Para toda reta l existem pelo menos dois pontos distintos 
incidentes em l.

AX(inc) 3 - Existem pelo menos tr�s pontos distintos com a

propriedade que nenhuma reta � incidente em todos eles.

Defini��es

Def(inc) 1 - Dois ou mais pontos s�o COLINEARES quando incidem na mesma reta.

Def(inc) 2 - Duas retas s�o CONCORRENTES quando possuem um ponto comum, ou 
seja, quando incidem em um ponto.

Def(inc) 3 - Duas retas s�o PARALELAS quando n�o incidem em nenhum ponto 
comum, ou seja, quando n�o s�o concorrentes.

II) AXIOMAS DE ENTREMEIO (BETWEENESS)

Termo primitivo: "ESTAR ENTRE".

AX(entre) 1 - Se o ponto B est� entre os pontos A e C ent�o A, B e C s�o 
tr�s pontos distintos incidentes na mesma linha reta e tamb�m B est� entre 
C e A.

Introduzindo a nota��o A*B*C para denotar que B est� entre A e C (ou, 
equivalentemente, B est� entre C e A), podemos reescrever o axioma acima como:

"Se A*B*C ent�o A, B e C s�o distintos e A,B,C pertencem a l e C*B*A."

AX(entre) 2 - Dados dois pontos distintos B e D, existem pontos A, C e E 
incidindo na reta l que passa por B e D e tal que A*B*D, B*C*D, B*D*E.

AX(entre) 3 - Se A, B e C s�o tr�s pontos distintos incidentes em uma reta, 
ent�o ocorre um e somente um dos casos:

i) A*B*C                ii) A*C*B                iii) B*A*C

Defini��o

Def(entre) 1 - Dizemos que dois pontos A e B est�o do mesmo lado da reta l 
se o segmento [AB] n�o interceptar l. Caso contr�rio, dizemos que A e B 
est�o em lados opostos de l.

AX(entre) 4 - Para toda reta l e tr�s pontos A, B e C quaisquer n�o 
incidentes em l, teremos:

i. Se A e B est�o do mesmo lado de l e B e C est�o do mesmo lado de l, 
ent�o A e C est�o do mesmo lado de l.

ii. Se A e B est�o em lados opostos de l e B e C est�o em lados opostos de 
l, ent�o A e C est�o do mesmo lado de l.

Defini��es

Def(entre) 2 - O segmento [AB] � definido por:

[AB] = {A,B} uni�o {X / A*X*B}

Def(entre) 3 - A semi-reta [AB[ � definida por:

[AB[ =  [AB]  uni�o {X / A*B*X}
AXIOMAS DE CONGRU�NCIA

Termo Primitivo: CONGRU�NCIA.

AX(cgr) 1 - Se A e B s�o pontos distintos e A � um ponto qualquer, ent�o 
para cada semi-reta r partindo de A , existe um �nico ponto B incidente em 
r tal que B' seja diferente de A e [AB] == [A'B'], (== significa 
"congruente a").

AX(cgr) 2 - Se [AB]==[CD] e [AB]==[EF], ent�o [CD]==[EF]. Al�m disso, todo 
segmento � congruente a si pr�prio.

AX(cgr) 3 - Se A*B*C, A *B *C ,[AB]==[A'B'], [BC]==[B'C'] ent�o [AC]==[A'C'].

Defini��o

Def(cgr) 1 - Um �ngulo de v�rtice A � definido como um ponto A junto com 
duas semi-retas [AB[ e [AC[; convencionaremos que se B*A*C ent�o ^BAC n�o � 
um �ngulo, mas sim, semi-retas opostas.

AX(cgr) 4 - Dado um �ngulo ^BAC e dada qualquer semi-reta [A'B'[ partindo 
de A , ent�o h� uma �nica semi-reta [A'C'[ em um dado lado da reta ]AB[ tal 
que ^B A'C ==^BAC.

AX(cgr) 5 - Se ^A==^C e ^A==^D ent�o ^C==^D. Al�m disso, todo �ngulo � 
congruente a si pr�prio.

AX(cgr) 6 - (SAS) Tri�ngulos com dois lados congruentes um a um e cujos 
�ngulos compreendidos entre os lados congruentes s�o congruentes, s�o 
tri�ngulos congruentes.

[]s, Josimar

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