Re: [obm-l] corredor

["Bruno F. C. Leite" <bruleite@xxxxxxxxxxxx>]

At 23:53 25/01/02 -0300, you wrote:
>Em um corredoe existem 900 armários numerados de 1 a
>900.Novecentas pessoas numeradas de 1 a 900 atravessam
>este corredor ,uma a uma, em ordem crescente de
>numeração.Cada pessoa deve reverter os armários que
>sAõ múltiplos de sua numeração.Por exemplo, a pessoa
>de número 4 deve mexer nor armários 4,8,12,16,20,etc,
>abrindo aqyeles que estÃo fechados e fechando aqueles
>que estão abertos.Ao final, quais armários estarão
>abertos e quais estarão fechados?

Vamos supor que inicialmente todos estão fechados. (é importante saber a 
situação inicial dos armários)
Um armário n estará aberto se e só se o número de pessoas que mexeram no 
armário n for impar.

O número de pessoas que mexem no armário n é o número de divisores de n. 
Logo, isto equivale a dizer que n tem um número ímpar de divisores.

(quais sao os números n com quantidade impar de divisores?)
...
...
...
...
...
Resposta: Os quadrados perfeitos!

Vamos provar isto. Seja n um número com quantidade impar de divisores. Seja 
d um divisor de n. Então n/d tb é divisor de n. Logo, NORMALMENTE os 
divisores vêm aos pares. Para que n tenha uma quantidade impar de 
divisores, um destes pares (d, n/d) deve obedecer d=n/d. Logo n=d^2, n é 
quadrado perfeito. (e é claro que vale a recíproca)

Bruno Leite
www.ime.usp.br/~brleite



>_______________________________________________________________________________________________
>Yahoo! GeoCities
>Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! 
>GeoCities. É fácil e grátis!
>http://br.geocities.yahoo.com/
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
>=========================================================================

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================