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Sent: Saturday, January 05, 2002 2:13
PM
Subject: Desafio
Determine todos os inteiros positivos n tais
que
a quarta potência do número de seus divisores
positivos é igual a n .
Seja n =
(p1^a1)(p2^a2)...(pm^am) onde p1, p2, ..., pm são os m
fatores primos de n e a1, a2, ..., am são os expoentes destes
primos.
Assim, o número de divisores positivos
é d(n) = (a1 + 1)(a2 + 1)...(am +
1)
Pelo enunciado n = [(a1 + 1)(a2 + 1)...(am
+ 1)]^4, ou seja, cada expoente ai é divisível por 4.
Façamos ai = 4bi
=> n = (p1^4b1)(p2^4b2)...(pm^4bm) = [(4b1 + 1)(4b2 +
1)...(4bm + 1)]^4 =>
(p1^b1)(p2^b2)...(pm^bm) = (4b1 +
1)(4b2 + 1)...(4bm + 1)
Notemos que o número de termos em cada lado da
igualdade é igual a m. Note também que p1 é diferente de 2, pois (4b1 +
1)(4b2 + 1)...(4bm + 1) é ímpar.
Observe agora que:
3^1 < 4.1 + 1 3^2 = 4.2 +
1 3^3 > 4.3 + 1
5^1 = 4.1 + 1 5^2 > 4.2 +
1
se p >= 7 temos que
p^k > 4.k + 1
Como o número de termos de cada lado da expressão
(p1^b1)(p2^b2)...(pm^bm) = (4b1 + 1)(4b2 +
1)...(4bm + 1) é igual, para que o lado esquerdo não seja maior que o lado
direito, as únicas possibilidades são:
i) m = 1 p1 = 3 b1
= 2 => n = 3^8 => d(n) =
9 => [d(n)]^4 = 3^8
ii) m = 1 p1 = 5 b1
= 1 => n = 5^4 => d(n) =
5 => [d(n)]^4 = 5^4
iii) m = 2 p1 = 2 b1 =
2 p2 = 5 b2 = 1 => n =
(3^8)(5^4) => d(n) = 9.5
=> d(n) = (3^8)(5^4)
Acho que é isso, se alguém encontrar mais algum
número é só complementar esta solução.
Até mais,
Marcelo Rufino