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Re: Desafio



 
----- Original Message -----
Sent: Saturday, January 05, 2002 2:13 PM
Subject: Desafio

Determine todos os inteiros positivos n tais que
a quarta potência do número de seus divisores
positivos é igual a n .
 
 
 
Seja  n = (p1^a1)(p2^a2)...(pm^am)   onde  p1, p2, ..., pm  são os m fatores primos de n e  a1, a2, ..., am  são os expoentes destes primos.
Assim, o número de divisores positivos é  d(n) = (a1 + 1)(a2 + 1)...(am + 1)
Pelo enunciado  n = [(a1 + 1)(a2 + 1)...(am + 1)]^4, ou seja, cada expoente ai é divisível por 4.
Façamos  ai = 4bi   =>   n = (p1^4b1)(p2^4b2)...(pm^4bm) = [(4b1 + 1)(4b2 + 1)...(4bm + 1)]^4   =>
(p1^b1)(p2^b2)...(pm^bm) = (4b1 + 1)(4b2 + 1)...(4bm + 1)
 
Notemos que o número de termos em cada lado da igualdade é igual a m. Note também que p1 é diferente de 2, pois (4b1 + 1)(4b2 + 1)...(4bm + 1) é ímpar.
Observe agora que:
3^1 < 4.1 + 1   3^2 = 4.2 + 1   3^3 > 4.3 + 1
5^1 = 4.1 + 1   5^2 > 4.2 + 1
se p >= 7   temos que   p^k > 4.k + 1
 
Como o número de termos de cada lado da expressão (p1^b1)(p2^b2)...(pm^bm) = (4b1 + 1)(4b2 + 1)...(4bm + 1) é igual, para que o lado esquerdo não seja maior que o lado direito, as únicas possibilidades são:
  i) m = 1   p1 = 3   b1 = 2   =>   n = 3^8   =>   d(n) = 9   =>   [d(n)]^4 = 3^8
 ii) m = 1   p1 = 5   b1 = 1   =>   n = 5^4   =>   d(n) = 5   =>   [d(n)]^4 = 5^4
iii) m = 2   p1 = 2   b1 = 2   p2 = 5   b2 = 1   =>   n = (3^8)(5^4)   =>   d(n) = 9.5   =>   d(n) = (3^8)(5^4)
 
 
Acho que é isso, se alguém encontrar mais algum número é só complementar esta solução.
 
 
Até mais,
Marcelo Rufino