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Olá Henrique,
Seja N = 2^(p-1) -1= k^2.p ( p primo ).
a) inicialmente temos para p =3 : N = 2^2 -1 = (1^2).3
b) façamos p= 2n+1 ( já que para p=2 não teremos solução) ;
logo
N = ( 2^n-1).(2^n+1) . Observe que N é sempre divisível
por 3 e, como queremos que (2^(p-1) -1)/p
seja um quadrado de um inteiro , N deve ser
da forma N = 3^(2s). t^2 .p = 4^n -1. Como n pode ser escrito
na forma n =3k, 3k+1 ou 3k+2; não é difícil verificar que N só será
múltiplo de 9 com n =3k; daí teremos N = (2^6k) -1 = (8^k-1)(8^k+1).
Observe agora também que
8^k-1 e 8^k+1 são primos entre si e que 8^k+1 só será um
quadrado perfeito para k=1 e, teremos N =7.9 =63 = 3^2.7 . Conclusão : p=3
e p=7 são as respostas.
Abraços , Carlos Victor
-------Original Message-------
Date: terça-feira, 25
de dezembro de 2001 13:22:42
Subject:
Questão
Ae pessoal,
deem uma olhada nessa questão
ache
todos os p, primos, tais que 2^p-1 -1/p seja um quadrado perfeito. (
essa expressão resulta sempre num n° inteiro-> pelo teorema de
Euler)
--> ex: pra p=7 => 2^6 -1/7=9 q eh quadrado
perf.
valeu
Henrique
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