Re: ITA 2002 - Problema 12 - Divergencia entre os cursinhos!

[Gustavo Nunes Martins <namosca@xxxxxxxxxx>]

RA
DA
RU

Eu entendi que "mudando 9 vezes no entre os 3" quisesse dizer que dentro
daquele grupo teve 9 mudancas (poderia ser so do 1� com o 2�).
Entao, com essa condicao, vamos fazer RA-DA, DA-RA, RA-DA, ..., DA-RA
E, DEPOIS, as 8 vezes entre os 2 ultimos: RA-RU, RU-RA, RA-RU, ..., RA-RU

Entao seria o resultado final DA-RA-RU, respectivamente.

Ou muda-se os 2 primeiros 1 vez, que fica DA-RA
Depois os 2 ultimos 8 vezes, que da RA-RU
E depois os 2 primeiros 8 vezes, que resulta em RA-DA

Entao seria RA-DA-RU

Eu vi 3 respostas praquela questao da mola de fisica, que inicialmente esta
comprimida de 2cm, etc. Um lugar disse que era 0,35s; outro, 0,5s; outro,
0,25s. Quanto voces acharam?

niski wrote:

> Ola colegas da lista! Gostaria que os srs escrevessem falassem qual � a
> resposta mais adequada da questao mais comentada do ITA 2002, j� que sei
> que todos por aqui gostam e sabem muito de matematica.
>
> O Curso Anglo d� como gabarito a letra A
> Os demais cursinhos (ETAPA, Objetivo, Poliedro, Alferes e COC) d�o como
> gabarito a letra E.
>
> Irei transcrever o problema ,a solu��o do Anglo e a solucao do ETAPA.
> Gostaria de saber da opiniao dos srs. Qual cursinho est� correto
>
> ENUNCIADO:
> O seguinte trecho de artigo de um jornal local relata uma corrida
> beneficente de bicicletas: Alguns se-gundos
> ap�s a largada, Ralf tomou a lideran�a, seguido de perto por David e
> Rubinho, nesta ordem. Da�
> em diante, eles n�o mais deixaram as primeiras tr�s posi��es e, em
> nenhum momento da corrida, estiveram
> lado a lado mais do que dois competidores. A lideran�a, no entanto,
> mudou de m�os nove vezes entre os
> tr�s, enquanto que em mais oito ocasi�es diferentes aqueles que corriam
> na segunda e terceira posi��es
> trocaram de lugar entre si. Ap�s o t�rmino da corrida, Rubinho reclamou
> para nossos rep�rteres que
> David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da
> bandeirada de chegada. Desse
> modo, logo atr�s de David, Rubinho n�o p�de ultrapass�-lo no final da
> corrida.
> Com base no trecho acima, voc� conclui que
> A) David ganhou a corrida.
> B) Ralf ganhou a corrida.
> C) Rubinho chegou em terceiro lugar.
> D) Ralf chegou em segundo lugar.
> E) n�o � poss�vel determinar a ordem de chegada, porque o trecho n�o
> apresenta uma descri��o matema-ticamente
> correta.
>
> RESOLUCOES: ANGLO - LETRA A:
> Para que Ralf ganhe a corrida, � necess�rio que ele participe de um
> n�mero par de trocas de lideran�a,
> algumas com David e outras com Rubinho.
> Como o n�mero de trocas de lideran�a � nove, devemos ter um n�mero �mpar
> de trocas de lideran�a
> sem a participa��o de Ralf, ou seja, entre David e Rubinho.
> Sabemos, do enunciado, que Rubinho come�a e termina a corrida atr�s de
> David. Assim, o n�mero total
> de trocas de posi��o entre eles � necessariamente par.
> Como � �mpar o n�mero de trocas entre David e Rubinho na lideran�a, deve
> tamb�m ser �mpar o n�-mero
> de trocas entre eles na segunda e terceira posi��es.
> Sabemos, tamb�m do enunciado, que o n�mero de trocas entre o segundo e o
> terceiro colocados � oito e,
> portanto, Ralf deve participar, necessariamente, de um n�mero �mpar
> delas.
> Como Ralf come�a a corrida em primeiro lugar, ele deve perder a
> lideran�a antes de participar de uma
> de suas trocas entre a segunda e a terceira posi��o. Trocas essas que
> ele inicia como segundo colocado.
> Sendo �mpar o n�mero de trocas entre a segunda e a terceira posi��o, com
> a participa��o de Ralf, ao
> final dessas trocas ele estar� na terceira posi��o, n�o podendo, assim,
> reassumir a lideran�a.
> Portanto n�o � poss�vel que Ralf ganhe a corrida, e como o enunciado
> afirma que Rubinho terminou a
> corrida atr�s de David, podemos concluir que David ganhou a corrida.
>
> ETAPA - LETRA E:
> Representemos Ralf por 1, David por 2 e Rubinho
> por 3. Em cada momento da corrida, a
> classifica-��o � uma terna ordenada desses tr�s n�meros
> ou est� ocorrendo uma invers�o (troca de
> posi-��es entre dois ciclistas).
> Como a lideran�a mudou de m�os 9 vezes, e em
> mais 8 ocasi�es aqueles que corriam na segunda
> e terceira posi��es trocaram de lugar entre si,
> houve no total 17 invers�es.
> Temos que, ap�s um n�mero �mpar de invers�es,
> podemos obter somente as classifica��es (2; 1; 3),
> (1; 3; 2) e (3; 2; 1).
> Rubinho chegou logo atr�s de David, portanto a
> classifica��o final � (1; 2; 3) ou (2; 3; 1).
> Nenhu-ma das quais poderia ter sido obtida com um
> n�-mero �mpar de invers�es.
> Conseq�entemente, n�o � poss�vel determinar a
> ordem de chegada, porque o trecho n�o
> apresen-ta uma descri��o matematicamente correta.
>
> POLIEDRO: RESPOSTA E:
>
> Como Rubinho deve terminar a corrida logo atr�s de David, podemos ter
> duas
> possibilidades para o resultado da corrida:
> 1 o ) Ralf 2 o ) David 3 o ) Rubinho (A)
> ou
> 1 o ) David 2 o ) Rubinho 3 o ) Ralf (B)
> A primeira possibilidade � a mesma do in�cio da corrida. Para que Ralf
> termine em
> primeiro lugar, ele deve trocar de posi��o um n�mero par de vezes.
> Para David e Rubinho tamb�m terminarem na mesma posi��o em que estavam,
> devem
> trocar de lugar um n�mero par de vezes. Assim, essa possibilidade n�o
> pode ocorrer.
> Considere, agora, a segunda possibilidade. Antes de os concorrentes
> chegarem �
> posi��o final, eles poderiam ter estado nas seguintes configura��es:
> 1 o ) David 2 o ) Ralf 3 o ) Rubinho (C)
> ou
> 1 o ) Rubinho 2 o ) David 3 o ) Ralf (D)
> Na op��o (C), j� realizamos uma troca entre o segundo e terceiro
> lugares, restando 9
> trocas entre 1 o e 2 o e 7 trocas entre 2 o e 3 o . Rubinho come�ou em
> �ltimo lugar e deve
> continuar ali, devendo passar por um n�mero par de trocas. Por�m,
> devemos realizar 7
> trocas de 2 o e 3 o lugar, n�o sendo poss�vel que Rubinho ali permane�a.
> Falta a op��o (D). Da posi��o inicial at� a (D), devemos passar pelas
> seguintes
> configura��es:
> 1 o ) Ralf 2 o ) David 3 o ) Rubinho (posi��o inicial)
> 1 troca
> 1 o ) David 2 o ) Ralf 3 o ) Rubinho
> 1 troca
> 1 o ) David 2 o ) Rubinho 3 o ) Ralf
> 1 troca
> 1 o ) Rubinho 2 o ) David 3 o ) Ralf (E)
> Restam, ent�o, 7 trocas entre 1 o e 2 o lugar e 7 trocas entre 2 o e 3 o
> lugares. Por�m, (E) �
> igual a (D), e devemos ter um n�mero par de trocas at� o final (mesmo
> racioc�nio do
> primeiro caso).
> Assim, n�o h� posi��o final v�lida com as condi��es indicadas.
>
> Obrigado pessoal!
> --
> "Now I will have less distraction."
> [upon losing the use of his right eye]
> Leonhard Euler