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Re: Funções... (Iezzi)



Sauda,c~oes,
 
                f(n + 1) = 2f(n) + 3
 
Suponha f(n+1) = 2f(n). Então temos uma PG de razão 2.
 
f(n) = k_1 2^n. Levando em consideração o termo constante,
corrigimos nosso termo geral:
 
f(n) = k_1 2^n + k_2.
 
Para obter k_2, fazemos f(n) = k_2. Então f(n+1) = k_2 e k_2 = -3.
 
Com f(0) = 0, obtemos 0 = k_1 - 3. Logo k_1 = 3.
 
Assim, f(n) = 3(2^n - 1). Verifique por indução.
 
[]'s
Luís

-----Mensagem Original-----
Para: obm
Enviada em: Segunda-feira, 26 de Novembro de 2001 17:10
Assunto: Funções... (Iezzi)

 
    Caros amigos, encontrei a seguinte função:
 
         f(n) = 6(2^(n - 1) - 0.5)
 
    Por indução temos:
    Para n=0:
 
       f(0) = 6(2^(0-1) - 0.5) = 0
 
    Supondo que a expressão, f(n) = 6(2^(n-1)-0.5), seja verdadeira.
 
    Para n+1, teremos:
 
       f(n+1) = 2f(n) + 3 = 2*6(2^(n - 1) - 0.5) + 3 = 6(2^n - 1) + 3 = 6[(2^n - 1) + 0.5] = 6[2^2 - 0.5]    c.q.d.
 
  
    Abçs!!!
   
 
    Davidson Estanislau
 

-----Mensagem Original-----
De: "{O-Grande-Mentecapto}" <mentus@berlin.com>
Para: <obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br>
Enviada em: Domingo, 25 de Novembro de 2001 16:11 Terezan
Assunto: Funções... (Iezzi)


                 Olá..

         Estou aqui resolvendo um problema de funções do Iezzi, mas como
para esse tipo de exercício 'dissertativo' não há resposta nas últimas
páginas, não sei se cheguei a solução correta.

"Seja f uma função, definida no conjunto dos números naturais, tal que:
                         f(n + 1) = 2f(n) + 3
para todo n natural.
a) Supondo f(0) = 0, calcule f(1),f(2),f(3),f(4),... e descubra a "fórmula
geral" de f(n).
b) Prove por indução finita a fórmula descoberta."
(in IEZZI, Gelson FME vol 1. pp 157)

Fazendo f(1), f(2), f(3) etc.. achamos:
f(1) = 3, f(2) = 9, f(3) = 21,f(4) = 45, f(5) = 93 ... f(n) = ?
"expandindo" as contas, temos:
f(1) = (0.2) + 3
f(2) = (((0.2) + 3).2) + 3
f(3) = ((((0.2) + 3).2) + 3).2) + 3
f(4) = (((((0.2) + 3).2) + 3).2) + 3).2)+3
f(5) = ((((((0.2) + 3).2) + 3).2) + 3).2)+3).2 + 3

Tomando n = 3 e desenvolvendo:
f(3) = 3.2.2 + 3.2 + 3
o mesmo para n = 4:
f(4) = 3.2.2.2 + 3.2.2 + 3.2 + 3
ou 3.2³ + 3.2² + 3.2 + 3
Isso decorre de que n+1 é dado por n.2 + 3..
Colocando o 3 em evidência.. e notando que a maior potência de 2 é igual a
n-1:
f(n) = 3(2^(n-1) + 2^(n-2) + ....  + 2^1 + 2^0)
ou ainda f(n) = 3. somatória[para k = 0 até n - 1] 2^k
A fórmula funciona para qualquer n pertencente aos naturais e diferente de
zero.
Daí que vem minha dúvida... a fórmula que eu achei pode ser considerada
'termo' geral, se não é válida para 0?
         Alguém tem alguma idéia de outra fórmula geral?



Grato pela atenção..




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