Re: ajuda

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

Estas quest�es est�o propostas na Eureka! 11, na se��o Olimp�adas ao Redor
do Mundo. Como nem todas as quest�es propostas aparecem com solu��o no
n�mero seguinte, acho interessante que alguns problemas fossem resolvidos
aqui na lista. Abaixo est�o as solu��es que eu enviei para a OBM para as
quest�es que a Fernanda mandou para a lista.

>   Ol� pessoal,
> Gostaria de ajuda nestas 3 quest�es:

> 1: determine o n� p,primo, tal que 1 + p + p^2 + p^3 + p^4 seja quadrado
> perfeito

Inicialmente note que  1 + p + p^2 + p^3 + p^4  � sempre �mpar.
Se p = 2   =>   1 + p + p^2 + p^3 + p^4 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31  que n�o �
um quadrado perfeito.
1 + p + p^2 + p^3 + p^4 = x^2   =>   x^2 - 1 = p + p^2 + p^3 + p^4   =>
  (x - 1)(x + 1) = p(p + 1)(p^2 + 1)
Como x � �mpar,  ent�o  x - 1  e  x + 1  s�o dois n�meros inteiros pares
consecutivos, ou seja, mdc (x - 1, x + 1) = 2.
Sabemos tamb�m que  mdc (p, p + 1) = 1  e  mdc (p, p^2 + 1) = 1.
Note que  mdc (p + 1, p^2 + 1) = mdc (p^2 + 2p + 1, p^2 + 1) = mdc (2p, p^2
+ 1) = mdc (2, p^2 + 1) = 2.
Desta forma, temos somente uma possibilidade:
x - 1 = p^2 +1
x + 1 = p(p + 1)
Assim: 2 = p^2 + p - p^2 - 1   =>   p = 3.
Conferindo:  1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 = 121 = 112.



> 2: determine todas as fun��es f:R->R q satisfazem a
>   f(x-f(y))=1-x-y , x,y reais.

Na express�o  f(x - f(y)) = 1 - x - y, temos que a imagem de f(x - f(y)) �
formada por todos os valores que pode assumir a express�o 1 - x - y. Como x
e y s�o n�meros reais quaisquer, ent�o  1 - x - y  pode assumir qualquer
valor real, implicando que f(x - f(y)) pode assumir qualquer valor real,
fazendo com que f(x - f(y)) seja sobrejetora, o mesmo valendo para f(x), uma
vez que os valores assumidos por f(x - f(y)) formam um subconjunto dos
valores assumidos por f(x).
Desde que f(y) pode assumir qualquer valor real, ent�o podemos fazer  f(y) =
x:
f(0) = 1 - f(y) - y   =>   f(y) = 1 - y - f(0).
Fazendo y = 0   =>   f(0) = 1 - 0 - f(0)   =>   f(0) = 1/2
Assim:  f(y) = - y + 1/2.



> 3: seja q(n) a soma dos algarismos de n. qual o valor de
q(q(q(2000^2000)))

Como  2000 = 2.10^3   =>   2000^2000 = 2^2000.10^6000
Assim: q(2000^2000) = q(2^2000.10^6000) = q(2^2000).
Seja N(n) o n�mero de d�gitos de n.
N(2^2000) = [log 2^2000] + 1 = [2000.log 2] + 1
Como log 2 = 0,30103, ent�o N(2000^2000) = 603
Como o maior n�mero que possui 603 d�gitos � aquele formado somente por
d�gitos 9, ent�o:
q(2^2000) < 9(603)   =>   q(2^2000) < 5427
Dentre todos os n�meros menores que 5427, o que possui maior soma dos
algarismos � 4999.
Assim:  q(q(2^2000)) < q(4999) = 4 + 9 + 9 + 9 = 31.
Dentre todos os n�meros menores que 31, o que possui maior soma dos
algarismos � 29.
Assim: q(q(q(2^2000))) < q(29) = 2 + 9 = 11
Sabemos tamb�m que  n = q(n) = q(q(n)) = q(q(q(n))) (mod. 9), ou seja:
2000^2000 = (2 + 0 + 0 + 0)^2000 (mod. 9)   =>   2000^2000 = 2^2000 (mod. 9)
Note que:  2^3 = - 1 (mod. 9)   =>   (2^3)^666 = (- 1)^666 (mod. 9)   =>
2^1998 = 1 (mod. 9)   =>   2^2000 = 4 (mod. 9)
Assim, j� obtivemos que:   q(q(q(2000^2000))) = 4 (mod. 9)   e
q(q(q(2000^2000))) < 11.
Desde que o �nico n�mero menor que 11 que deixa resto 4 na divis�o por 9 �
4, ent�o q(q(q(2000^2000))) = 4.


>
>   Obrigada
>       F�
>
>

Espero que estejam corretas as solu��es.

At� mais,
Marcelo Rufino

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