Re: IME (era: "Re:d�vida")

["Alexandre F. Terezan" <aleterezan@xxxxxxxxxxxxx>]

Na verdade � poss�vel resolver para o caso geral  "sqrt(a-sqrt(a-x))=x
sabendo-se que x>0."

Essa foi a segunda maneira que eu, particularmente, enxerguei...

a primeira foi a de aplicar infinitas vezes f(x) = sqrt(5-x), que pra mim
foi a mais imediata...

 Voltando ao caso geral, a id�ia � resolver a equacao de segundo grau em
a...

Essa nao foi a primeira e nem ser� a �ltima vez que se resolve uma equacao
em x por um artif�cio desses... eu j� tinha utilizado este artif�cio para
uma equacao MUIT�SSIMO parecida com este caso geral...

Dentre as 4 respostas obtidas para x, apenas uma � a correta...

Se algu�m desejar, eu mostro em detalhes, mas nao creio q seja necess�rio...

-----Mensagem Original-----
De: "Alexandre Tessarollo" <tessa@mail.com>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Quarta-feira, 14 de Novembro de 2001 19:17 Terezan
Assunto: IME (era: "Re:d�vida")




luis felipe wrote:

> concordo com o alexandre
>
> a prova do IME deste ano foi bem elaborada, embora eu ache que duas
quest�es
> estavem pesadas demais para alunos de 2 grau( 7 e a 9) devemos lamentar
> tamb�m uma falha grave no enunciado da quest�o 8
>
> valeu
>
> luis felipe

    J� que ningu�m comenta, comento eu. Comecemos pela quest�o 9.

"Resolva a equa��o sqrt(5-sqrt(5-x))=x sabendo-se que x>0."

    Eu j� devo ter visto umas 4 solu��es diferentes, mas em quase todas
havia
pelo menos um passo n�o justificado ou "question�vel"... Uma delas era:

Seja f(x) = sqrt(5-x). Temos f(f(x))=x. Logo,  f(x)=f^(-1)(x). A� vem a
parte "�
f�cil ver que" os gr�ficos de f(x) e de f^(-1)(x) se cruzam sobre a reta
y=x. A
partir da�, temos f(x)=x, resolve-se uma equa��o do segundo grau e pronto.
Mas
falta demonstrar a parte "� f�cil ver"...

Outra diz:

    Aplicando f(x) nela mesma 2n vezes, com n tendendo ao infinito, teremos
f(f(f(f(....(f(x))...))))=x. Logo, podemos trocar todos os
f(f(f...(f(x))...)))
de "dentro" do primeiro "f" por "x". Assim teremos f(x)=x e novamente � s�
resolver a eq do segundo grau. A solu��o, olhando com carinho, est� certa,
mas
foi utilizado o conceito de limite.

Ainda h� uma terceira, esta j� sem erros mas um pouco mais longa. Trata-se
da
solu��o do Poliedro:

    Como x>0 e real, temos que 0<x<5. Tome y=sqrt(5-x) (I). A equa��o
original
transforma-se em
sqrt(5-y)=x (II)
    Elevando I e II ao quadrado, temos:
y^2=5-x    III
x^2=5-y    IV
    Fazendo III-IV, temos
y^2-x^2=y-x
(y+x)(y-x)=y-x
(y+x)(y-x)-(y-x)=0
(y-x)(y+x-1)=0

    Segue que
y-x=0    V

OU

y+x-1=0    VI

    De V segue a nossa equa��o do segundo grau. Considerando o intervalo
0<x<5,
s� teremos uma resposta - a certa. Falta examinar VI. Substituindo-a em III
ou
IV, teremos uma equa��o do segundo grau que resulta s� uma resposta no
intervalo
0<x<5. Contudo, como elevamos ao quadrado as eqs I e II p/chegarmos a III e
IV,
precisamos verificar via teste se essas duas solu��es servem ou n�o. Fazendo
isso s� teremos a resposta correta...

H� ainda uma resposta, esta feita pelo Prof. Raul Agostino:

    Elevando a equa��o ao quadrado e arrumando, temos:
5-x=sqrt(5-x)

    Elevando novamente, temos:

25-10x^2+x^2=5-x

    O que todo mundo tenta daqui em diante � somar tudo num lado s�, chegar
num
polin�mio do QUARTO grau e n�o conseguir resolv�-lo - ele n�o possui ra�zes
"�bvias", sequer inteiras... O pulo do gato segue abaixo, se vc n�o quiser
ver,
pare aqui..

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Bum!! Brincadeirinha... :0)

    Olhando com MUITO carinho e MUITA boa vontade, podemos arrumar a equa��o
assim:

25-(2x^2+1)5+x^4+x=0

    Um olho treinado ver� uma equa��o do SEGUNDO grau em CINCO. Isso mesmo,
algo
da forma a(5^2)+b(5)+c=0. Resolvendo, teremos:

5=(2x^2+1 +-sqrt(4x^4+4x^2+1-4x^4-4x))/2
Dentro da raiz fica 4x^2+1-4x = (2x-1)^2. Tirando a raiz, dever�amos colocar
o
m�dulo mas, como j� existe o +-, basta colocar direto mesmo. Fica:

5=(2x^2+1 +-(2x-1))/2

    Resolvendo e respeitando os intervalos, teremos a solu��o...

[]'s

Alexandre Tessarollo