Re: Problema do IME-88/89 de analise combinatoria.

[Carlos Maçaranduba <soh_lamento@xxxxxxxxxxxx>]

 espero que eu não esteja errado. 

> Eis a setima questao da prova do IME-88/89.
> 
> Em cada uma das faces de um cubo constroi-se um
> circulo e, em cada circulo, 
> marcam-se n pontos. Unindo-se estes pontos,
> (a) quantas retas, nao contidas numa mesma face do
> cubo, podem ser formadas?
 
 (C_2n,2 - 2.C_n,2).C_6,2 . PEGUE DUAS FACES.EXISTEM
AO TOTAL 2n PONTOS.COMO A CADA DOIS PONTOS FORMA-SE
UMA RETA BASTA FAZER C_2n ,2.MAS EU ESTOU CONTANDO AS
RETAS DE MESMA FACE QUE SÃO C_n,2 E COMO SÃO DUAS
FACES FAÇO 2.C_n,2  E TIRO DO QUE OBTIVE.BASTA APLICAR
A TODOS OS CONJUNTOS DE 2 FACES PORTANTO MULTIPLICO
POR C_6,2.       



> (b) quantos triangulos, nao contidos numa mesma face
> do cubo, podem ser 
> formados?

(C_3n,3 - 3.C_n,3 ).C_6,3

PEGUE 3 FACES . SÃO 3n PONTOS .FAZENDO C_3n,3 OBTENHO
TODOS OS TRIANGULOS ,INCLUSIVE OS QUE ESTAO NA MESMA
FACE PORTANDO DEVO TIRA-LOS FAZENDO C_n,3 E POR SEREM
3 FACES MULTIPLICAR POR 3.BASTA APLICAR ESSA REGRA A
TODOS OS CONJUNTOS DE 3 FACES MULTIPLICANDO POR C_6,3.
PERCEBA QUE FAÇO 3n PQ INCLUO O CASO DE CADA PONTO
ESTA EM UMA FACE DISTINTA.

> (c) quantos tetraedros, com base numa das faces do
> cubo, podem ser formados?

(C_n,3 . C_n,1).2.C_6,2.

PEGUE DUAS FACES E ESCOLHA UMA PARA SER A BASE . A
CADA 1 PONTO DA FACE QUE NÃO É BASE TEMOS C_n,3 PONTOS
 DA BASE E TETRAEDROS .BASTA FAZER PARA TODOS OS
PONTOS DA FACE QUE NÃO É BASE .COMO A FACE QUE NÃO É
FACE PODE SÊ-LA BASTA MULTIPLICAR POR 2.APLICA-SE A
TODOS OS CONJUNTOS DE 2 FACES DO CUBO MULTIPLICANDO
POR C_6,2.  

> (d) quantos tetraedros, com todos os vertices em
> faces diferentes, podem ser 
> formados?

  ((C_n,1)^4 ).C_6,4
 PEGUE 4 FACES E ESCOLHA UM PONTO DE CADA .TODAS AS
VARIAÇÕES DARÁ O N° DE TETRAEDROS COM ESSA CONDIÇAO AS
4 FACES .PORTANTO (C_n,1)^4.BASTA APLICAR A TODOS OS
CONJUNTOS DE 4 FACES POR ISSO C_6,4.




> OBS: Suponha que, se 4 pontos nao pertencem a uma
> mesma face, entao nao sao 
> coplanares.
> 
> Agora vai uma pergunta minha:
> A questao mudaria se a observacao final nao se
> aplicasse para os itens (a) e 
> (b)? Por que?
 VEJA SÓ.ESSA CONDIÇÃO FOI IMPOSTA SOMENTE POR CAUSA
DO TETRAEDRO (DA LETRA C PRINCIPALMENTE) POIS PEGANDO
A LETRA C , E NÃO APLICANDO TAL CONDIÇÃO ,NADA ME
GARANTIRIA QUE EU NÃO ESTARIA CONTANDO TETRAEDROS A
MAIS.PELO FATO DE UMA RETA E UM TRIANGULO SEREM
FIGURAS PLANARES E SEUS PONTOS ESTAREM DISPOSTOS SOBRE
CIRCULOS ,CASO 4 PONTOS ESTIVESSEM EM UM MESMO
PLANO(NÃO NECESSARIAMENTE NA MESMA FACE),COM ELES 
OBTERIA O MESMO N° DE RETAS E TRIANGULOS OBTIDOS PELO
CASO CONTRÁRIO.   

 

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