RES: RES: Equação funcional

["Eric Campos Bastos Guedes" <mathfire@xxxxxxxxx>]

> A solução do Nicolau satisfaz a sua pergunta?

Satisfaz sim.  Ele deu um exemplo de funcao f:R->R tal que f(f(x))=x+1, mas
f(x) nao eh a funcao que leva x em x + 1/2.  Gostaria de saber como ele
chegou nesse exemplo, como ele raciocinou ou se ja era resultado conhecido.

A questao era saber se existia alguma outra funcao diferente de f(x)=x+c que
satisfizesse f(f(x))=x+2c (para, digamos, c = 1/2 e todo x em R)

Baseando-me na ideia de Nicolau, obtive outro exemplo:

g(x) = x + 1/4 + 2{x},     se {x} < 1/4
g(x) = x + 11/12 - 2{x}/3, se {x} >= 1/4

onde {x} = x - [x] eh a parte fracionaria de x, e [x] eh o maior inteiro que
nao supera x.
Pode-se mostrar que g(g(x))=x+1, porem g nao leva x sempre em x+1/2. As
contas nao sao tao dificeis, mas sao meio chatas.  Em todo caso estao
abaixo.

g(g(x))=x+1.  De fato:

(i) se {x} < 1/4 entao

g(x) = x + 1/4 + 2{x} =
= [x] + {x} + 1/4 + 2{x} =
= [x] + 1/4 + 3{x}

como 0 < 1/4 + 3{x} < 1 entao esta eh a parte fracionaria de g(x).
Tem-se que {g(x)} = 1/4 + 3{x} >= 1/4, donde

g(g(x)) =
= g(x) + 11/12 - 2{g(x)}/3 =
= (x + 1/4 + 2{x}) + 11/12 - 2(1/4 + 3{x})/3 =
= x + (1/4 + 11/12 - (2/4)/3) + 2{x} - 2{x} =
= x + 1

(ii) se {x} >= 1/4

g(x) = x + 11/12 - 2{x}/3 =
= [x] + {x} + 11/12 - 2{x}/3 =
= [x+1] + {x}/3 - 1/12

como 0 =< {x}/3 - 1/12 < 1 entao esta eh a parte fracionaria de g(x).
Tem-se que {g(x)} = {x}/3 - 1/12 < 1/4, donde

g(g(x)) =
= g(x) + 1/4 + 2{g(x)} =
= (x + 11/12 - 2{x}/3) + 1/4 + 2({x}/3 - 1/12) =
= x + (11/12 + 1/4 - 2/12) - 2{x}/3 + 2{x}/3 =
= x + 1

Portanto, de (i) e (ii) tem-se que g(g(x)) = x + 1, porem g nao eh a funcao
que leva x em x + 1/2.

Eric.

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>> Existem outras. Tome c = 1/2 e
>
>> f(x) = x + 1/3 + {x},      0 <= {x} < 1/3
>> f(x) = x + 5/6 - {x}/2,  1/3 <= {x} < 1
>
>> onde {x} é a parte fracionária de x, i.e.,
>
>> 0 <= {x} < 1, x - {x} inteiro.
>
>[]s, N.
>