Re: obm

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

Aí vai uma solução para o problema 4 do Nível 3, só que não está completa, é
necessário demonstrar alguns trechos que somente vou enunciar:
Para quem não lembra o enunciado é o seguinte:

4) Uma calculadora tem o número 1 na tela. Devemos efetuar 2001 operações,
cada uma das quais consistindo em pressionar a tecla sen ou a tecla cos.
Essas operações calculam respectivamente o seno e o cosseno com argumentos
em radianos. Qual é o maior resultado possível depois das 2001 operações?

Como cos e sen variam entre - 1 e 1, evidentemente tentaremos alcançar um
número que seja o mais próximo possível de 1.
Alguns fator são relevantes:
1) entre 0 e pi/2 a função sen x é crescente;
2) se x é próximo de zero então cos x é próximo de 1;
3) para que sen x seja próximo de 1 então x deve ser bastante próximo de
pi/2 > 1;
4) se  0 < x < pi/4  então sen x < cos x  e se pi/4 < x < pi/2  então  senx
> cos x. Ainda mais, se  0 < x < pi/4,  então  sen x < x.
5) Se tivermos 1 escrito na calculadora e apertarmos somente a tecla cos os
números que vão aparecendo vão aproximando cada mais do número que é solução
da equação  cos x = x (aqui é necessário demonstrar). Este número é
aproximadamente  x = 0,73;
6) se apertarmos somente a tecla sen os números que vão aparecendo vão
aproximando cada mais do número que é solução da equação  sen x = x (também
é necessário demonstrar). Este número é x = 0;

Dos fatos 2 e 3 concluímos que a melhor estratégia para conseguir o maior
número possível é alcançar um número positivo mais próximo possível de 0 até
a 2000a. operação e depois apertar cos, aparecendo assim um número muito
próximo de 1, uma vez que não é possível obter um número próximo de pi/2 na
calculadora pois pi/2 é aproximadamente 1,55. Dos fatos 5 e 6 concluímos que
apertar seguidamente a tecla cos não ajuda em nada, pois vamos sempre nos
aproximar de um número (aproximadamente 0,73) que está longe de 0.

De início, como temos escrito 1 na calculadora, do fato 4 é melhor apertar
cos, pois  cos 1 < sen 1. Desde que cos 1 < pi/4 (é necessário demonstrar),
a 2a. tecla a ser apertada deve ser sen. Dos fatos 1 e 4, como cos 1 < pi/4,
temos que  sen (cos 1) < cos 1. Dos fatos 1, 4 e 6, se continuarmos a
apertar a tecla sen iremos sempre conseguir números positivos cada vez
menores. Assim, depois da 1a. operação (que é apertar cos) devemos apertar
sen 1999 vezes. Depois destas operações teremos na calculadora um número
positivo muito próximo de 0, bastando na 2001a. operação apertar cos e assim
alcançar um número muito próximo de 1.
Assim, o maior número possível é  cos (sen (sen (sen (...(sen (cos
1)))...))),  onde aplicamos sen 1999 vezes.

Acho que é isso, talvez falte demonstrar mais criteriosamente alguns
trechos, mas acredito que todas as idéias necessárias são estas.

Até mais,
Marcelo Rufino


----- Original Message -----
From: Carlos Stein Naves de Brito <carlosstein@uol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, October 23, 2001 9:37 PM
Subject: obm


> Gostaria de ver uma solucao para 4 da obm nivel 3!
>