equação do 3o. grau

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Para resolver (pelo menos simbolicamente) a equação geral
y^3+ay^2+by+c=0,  (*) começamos por colocá-la na forma
x^3+px+q=0,  (**) onde y=x-(a/3). Calcule agora, se quiser, p e q.

Calculamos em seguida D(elta)=q^2/4 + p^3/27. Temos:

i) D>0. (**) (e (*)) tem uma raiz real e duas comp.

ii) D=0. (**) tem 3 raízes reais com pelo menos duas iguais.

iii) D<0. (**) tem 3 raízes reais distintas.

Calculamos phi=Arccos\frac{q\sqrt{27}}{2p\sqrt{-p}},   (0<=phi<=pi)
onde \frac{A}{B}=A/B. Então,

x_1=2\sqrt{-p/3}cos{phi/3}
x_2=2\sqrt{-p/3}cos{phi/3 + 2pi/3}
x_3=2\sqrt{-p/3}cos{phi/3 + 4pi/3}.

Seja agora x^3 -4x -1 = 0. Temos p=-4; q=-1; D<0.

phi=Arccos 3\sqrt3/16~~0,41334629

x_1=2,11490754
x_2=-1,86080585
x_3=-0,25410169

Por outro lado, x_1=2cos2pi/9; x_2=2cos8pi/9; x_3=2cos14pi/9
são raízes de x^3-3x-1=0. (alguns emails foram trocados com
enganos de equações e raízes).

Para esta mensagem não ficar muito comprida, continuo na
próxima.

[]'s
Luís

-----Mensagem Original-----
De: Nicolau C. Saldanha <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Segunda-feira, 3 de Setembro de 2001 09:00
Assunto: Re: "e" e "ln'


> Quanto a essa equação, x^3 -4x -1 = 0 , quantas raízes reais e quantas
raízes
> imaginárias ela possui? alguém poderia mostrar uma forma de calculá-las ou
> pelo menos mandar uma aproximaçao delas?

Segue em attach um gráfico (feito com maple) que deixa bastante óbvio
que existem três raízes reais. Existe uma fórmula para as raízes de uma
equação de grau 3 em termos dos coeficientes (usando raízes quadradas
e cúbicas) e existem muitos métodos para encontrar aproximações de raízes.
Explique melhor o que você quer saber.

[]s, N.