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a) p(x) = Ax^16 + Bx^15+...+Q
p(0)=Q 'e impar, logo se p tiver uma raiz inteira
n, ela deve ser impar, pois n|Q (para ver isso, use que p(n)=0 e veja
que todo mundo eh multiplo de n, entao Q tmb deve ser).
Se p tivesse uma raiz impar n, entao
n=1mod2 e reduzindo a igualdade p(n)=0 modulo 2 teriamos:
0=p(n)=A+B+C+...+Q mod2.
Mas isso eh absurdo pq
p(1)=A+B+...+Q=1mod2.
b)p(x)-7 = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)q(x), onde a,b,c,d e
os coeficientes de q sao inteiros, pois p tem coeficientes
inteiros.
Logo, p(x)=14 eh absurdo pois implica que o primo
7=14-7 pode ser escrito como produto de 5 numeros, sendo pelo menos 4 deles
distintos (14-a, 14-b, 14-c, 14-d).
Obs: O grau de p nao faz diferenca em nenhum dos
dois problemas.
Abracos,
Marcio
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