Re: Vamos contar?

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

� verdade. Dado um conjunto X, mostramos que #(P(X)) > #(X). Vejamos :
 � trivial que #(P(X)) >= #(X) ( inclus�o natural ). Basta mostrar que n�o
vale a igualdade. Bem, como na minha outra mensagem, suponha que exista um
bije��o U : X->P(X). Da�, considere o conjunto A = { y real ; y n�o pertence
a U(y) } ( obviamente A n�o � vazio ). Afirma��o : A n�o pertence a Im(U).
Suponha o contr�rio. Da�, existe t real, tal que U(t) = A.
 Se t pertence a A, pela defini��o de A, t n�o pertence a U(t) = A,
contradi��o.
 Se t n�o pertence a A, t n�o pertence a U(t), logo, pela defini��o de A, t
pertence a A, contradi��o. Da�, conclui-se que este t n�o existe. Logo, A
n�o pertence a Im(U). Com isso, temos que a fun��o U n�o � sobrejetiva,
logo, n�o h� bije��o de X em P(X), da� #(P(X)) > #(X).
 Abra�os,
      �Villard!



-----Mensagem original-----
De: Nicolau C. Saldanha <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 15 de Agosto de 2001 08:35
Assunto: Re: Vamos contar?


>On Tue, Aug 14, 2001 at 05:19:15PM -0300, Bruno Mintz wrote:
>> Ol�...
>>
>> Fiquei sabendo ontem de uma coisa muito divertida... :) N�o sei se
>> "coisa" � uma palavra t�o ruim assim, porque infinitos s�o mesmo
>> coisas(!) n�o muito bem definidas.  � o seguinte: para contar, por
>> exemplo, quantas bananas existem num cacho, eu associo um n�mero natural
>> a uma das bananas e exatamente �quela banana o mesmo n�mero, certo?
>> (Correspond�ncia biun�voca.) Pergunta: quantos n�meros naturais existem?
>> Infinitos... a gente sempre pode p�r mais um. Oquei... Quantos inteiros?
>> Bacana a resposta: tantos quantos os naturais... Basta associar a cada
>> inteiro um natural. E racionais? Idem.  E reais? A� n�o � o mesmo: tem
>> mais...
>
>Isto que voc� descreve s�o cardinais infinitos, conforme estudados
>inicialmente por Cantor. Dois conjuntos X e Y tem o mesmo cardinal se
>existe uma bije��o entre eles; o cardinal de X � menor ou igual ao de Y
>se existir uma fun��o injetora de X para Y, ou, equivalentemente,
>se existir uma fun��o sobrejetora de Y para X.
>>
>> Para a quantidade de naturais, o professor usou a letra (hebraica)
>> "aleph" com o �ndice zero: A_0. Para a quantidade de reais, usou A_1 e
>> disse que � poss�vel demostrar que existem infinitos tipos de infinitos!
>> Um maior que o outro! A_2, por exemplo, ele associou a alguma propriedade
>> do espa�o funcional.
>
>Sinto muito contradizer seu professor, mas esta n�o � a nota��o usual.
>Aleph_0 � sempre o cardinal dos naturais mas Aleph_1 � por defini��o
>o cardinal seguinte. A hip�tese do cont�nuo diz que o cardinal de R
>� Aleph_1; a hip�tese do cont�nuo � independente dos axiomas usuais
>da teoria dos conjuntos e os especialistas discordam quanto a se ela
>deve ser considerada intuitivamente verdadeira ou falsa. Se uma
demonstra��o
>usa a hip�tese do cont�nuo, esta hip�tese deve ser claramente enunciada
>e surge naturalmente a quest�o se existe uma demonstra��o que n�o use
>a hip�tese do cont�nuo.
>
>Algumas nota��es usualmente aceitas para o cardinal dos reais s�o
>2^{Aleph_0} e Beth_0 (Beth � a segunda letra do alfabeto hebraico).
>>
>> Pergunta: Quantos complexos h�? Tantos quanto os reais? Mais?
>
>Existem exatamente tantos complexos quanto reais.
>Uma id�ia ing�nua � escrever parte real e parte imagin�ria
>como expans�es decimais infinitas e intercalar os d�gitos
>para obter um �nico n�mero real que 'encodifica' os dois primeiros.
>O problema � que como 1.00000000... = 0.99999999...
>(conforme j� foi bastante discutido nesta lista ;-))
>�s vezes um n�mero real admite duas expans�es decimais.
>O problema � contorn�vel de v�rias formas.
>
>> Como demostrar
>> que existem infinitos "tipos" de infinito?
>
>Voc� pode mostrar que nunca existe uma bije��o entre um conjunto X e
>P(X) = {Y | Y � subconjunto de X}. Mais, o cardinal de P(X) � sempre
>maior do que o de X.
>
>> (Talvez fosse interessante algu�m
>> reproduzir a demonstra��o do que eu disse acima, porque eu n�o saberia
>> explic�-la bem. Se n�o me engano, o matem�tico que estudou isto foi
>> "Canton"(?), "Cantor"(?),...)
>>
>> N�o sei se essas id�ias podem sair da matem�tica pura (podem???),
>
>De onde mais?
>
>> mas todos temos, no m�nimo, curiosidade quando falamos do infinito.
>
>Claro.
>
>[]s, N.
>