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Re: SELEÇÃO IMO(me ajudem)
Se P(x) e' um polinomio de grau n de coeficientes reais, e r e' uma raiz de
P(x) (ou seja P(r) = 0), entao P(x) e' divisivel por (x - r). Se r1, r2,
..., rn forem todas as raizes de P(x), teremos P(x) = a*(x - r1)*(x -
r2)*...*(x - rn). Se voce multiplicar todos esses n fatores (x - rk), voce
vai chegar a conclusao que o coeficiente de x^n e' a. O coeficiente de
x^(n-1) e' -a*(r1+r2+...+rn). O coeficiente de x^(n-2) e' a*(r1*r2 + r1*r3 +
... + rn-1*rn), ... O termo independente de x e' (-1)^n*a*(r1*r2*...*rn). De
uma forma geral, o coeficiente de x^k eh a soma de todos os produtos de (n -
k) raizes do polinomio.
So completando.
Eduardo Casagrande Stabel.
From: Henrique Lima <santanahenrique@hotmail.com>
> Relações de Girard:
> a_0*x^2 + a_1*x + a_2=0 => x´+x´´=-a_1/a_0 e x´* x´´=a_2/a_0 (onde x´e x´´
> são as raízes...) isso vc sabe,certo?
> daí observe que
> a_0*x^3 + a_1*x^2 + a_2*x + a_3=0 => x´+ x´´+ x´´´=-a_1/a_0
> (x´*x´´)+(x´*x´´)+(x´´*x´´´)=a_2/a_0 e x´*x´´*x´´´=-a_3/a_0
> logo,pra
> a_0*x^n + a_1*x^n-1 +...+a_n-1*x + a_n=0 temos
> x´+...+x_n(enésima raiz)=-a_1/a_0
> (x´*x´´)+(x´*x´´´)+...+(x^n-1*x^n)=a_2/a_0
> e x´*x´´*...*x^n=(-1)^n (a_n/a_0)
> té mais
> Henrique
>
>
>
>
>
>
> >From: pichurin pichurin <pichurinbr@yahoo.com.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: Re: SELEÇÃO IMO(me ajudem)
> >Date: Sat, 11 Aug 2001 02:47:23 -0300 (ART)
> >
> >desculpem, mas sou meio leigo nesses problemas
> >alguem poderia me explicar pq o produto das raízes é
> >igual a 11?
> >
> >
> >
> >--- Bruno Leite <bruleite@uol.com.br> escreveu: >
> >Linda solução! Nunca tinha conseguido fazer essa
> > > questão...
> > >
> > > Bruno
> > >
> > > -----Mensagem original-----
> > > De: Marcelo Rufino de Oliveira
> > > <marcelo_rufino@hotmail.com>
> > > Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > Data: Quarta-feira, 1 de Agosto de 2001 03:25
> > > Assunto: Re: SELEÇÃO IMO
> > >
> > >
> > > >Na segunda questão faça o seguinte:
> > > >
> > > >2) se a = sqrt(4-sqrt5-a), b = sqrt(4+sqrt5-b), c =
> > > sqrt(4-sqrt5+c) e
> > > >d = sqrt(4+sqrt5+d), calcule a*b*c*d.
> > > >
> > > >Solução:
> > > >
> > > >Inicialmente note que, devido as equações que
> > > definem a, b, c e d, então
> > > >estes valores são todos distintos.
> > > >
> > > >Elevando ao quadrado duas vezes as equações
> > > obtemos:
> > > >
> > > >(1) (a^2 - 4)^2 = 5 - a => a^4 - 8a^2 + 16 = 5
> > > - a =>
> > > >a^4 - 8a^2 + a + 11 = 0
> > > >
> > > >(2) (b^2 - 4)^2 = 5 - b => b^4 - 8b^2 + 16 = 5
> > > - b =>
> > > >b^4 - 8b^2 + b + 11 = 0
> > > >
> > > >(3) (c^2 - 4)^2 = 5 + c => c^4 - 8c^2 + 16 = 5
> > > + c =>
> > > >c^4 - 8c^2 - c + 11 = 0
> > > >
> > > >(4) (d^2 - 4)^2 = 5 + d => d^4 - 8d^2 + 16 = 5
> > > + d =>
> > > >d^4 - 8d^2 - d + 11 = 0
> > > >
> > > >Assim, a e b são 2 das 4 raízes do polinômio P(x)
> > > = x^4 - 8x^2 + x + 11 e
> > > >c e d são 2 das 4 raízes do polinômio Q(x) = x^4 -
> > > 8x^2 - x + 11.
> > > >
> > > >Aplicando x = - c em P(x) temos:
> > > >P(- c) = c^4 - 8c^2 - c + 11 = 0 => - c é raiz
> > > de P(x).
> > > >
> > > >Aplicando x = - d em P(x) temos:
> > > >P(- d) = d^4 - 8d^2 - d + 11 = 0 => - d é raiz
> > > de P(x).
> > > >
> > > >Deste modo, as raízes de P(x) são a, b, - c e - d.
> > > >
> > > >Como a multiplicação das raízes P(x) é igual a 11,
> > > >temos que a.b.(- c)(- d) = 11 => abcd = 11.
> > > >
> > > >
> > > >Falou,
> > > >Marcelo Rufino de Oliveira
> > > >
> > > >
> > > >----- Original Message -----
> > > >From: Henrique Lima <santanahenrique@hotmail.com>
> > > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > >Sent: Tuesday, July 31, 2001 11:16 PM
> > > >Subject: SELEÇÃO IMO
> > > >
> > > >
> > > >>
> > > >> alguém pode ajudar nesses problemas?
> > > >> 1)se m e n são inteiros positivos tais q 2^n - 1
> > > divide m^2 +9, prove q
> > > n
> > > >> eh uma potencia de 2
> > > >> se n eh uma potencia de 2 prove q existe um
> > > inteiro m (positivo) tal q
> > > 2^n
> > > >> -1 divide m^2 + 9
> > > >> 2)se a=sqrt(4-sqrt5-a), b=sqrt(4+sqrt5-b),
> > > c=sqrt(4-sqrt5+c) e
> > > >> d=sqrt(4+sqrt5+d), calcule a*b*c*d
> > > >> 3)sejam Q+ e Z os conjuntos dos racionais
> > > estritamente positivos e o
> > > >> conjunto dos inteiros. determine todas as funções
> > > f:Q+ ->Z satisfazendo
> > > as
> > > >> seguintes condições:
> > > >> (i)f(1999)=1
> > > >> (ii)f(ab)=f(a)+f(b) ,pra qq a,b racionais
> > > estritamente positivos
> > > >> (iii)f(a+b)>=min{f(a),f(b)}, pra qq a,b racionais
> > > estritamente positivos
> > > >>
> > > >> valeu!
> > > >>
> > > >>
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