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Re: Dizimas e Infinito Novamente...



Como vão a desonestidade e a embromação de se fazer a declaração abaixo?
"se 1/3 = 0,333... então, triplicando-se ambos os membros dessa igualdade, tem-se 1=0,999..."
Vejo que o produto 0,333... * 3 não é algo tão natural, mas...
E a respeito de se dizer "não existe número real não nulo tal que somado a 0,999... resulte em 1, logo 0,999... é igual a 1"?
[]s, Josimar
-----Mensagem original-----
De: Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quinta-feira, 9 de Agosto de 2001 08:16
Assunto: Re: Dizimas e Infinito Novamente...

O problema com estas "contas" do tipo 0,444... * 9 = 3,9...96 me parece residir no seguinte.
Nos nos acostumamos, quando criancas, a fazer certas contas sem discutir, e os procedimentos usados ganharam o status de "teoremas", que logo em seguida sao generalizados para numeros ou contas com "pontinhos".
Como professor, ja encontrei muitas vezes esta questao. Uma vez, discutindo em aula (num curso superior de Mat) o 0,999..., encontrei alguns alunos para os quais o argumento mais forte para 0,999..=1 era a regra: "tantos noves quantos sejam os algarismos do periodo, etc.", de modo que 0,999...=9/9=1. Ou seja, o argumento de autoridade da "tia", ja devidamente inetrnalizado.
Gente, nenhuma dessas questoes pode ser discutida antes de se definir o que se quer dizer com os pontinhos que aparecem, por exemplo, em 0,444..., e isto eh um processo de "limite", ou seja, envolve o infinito, sobre o qual o Hugo (e toda a torcida do Flamengo) expressou duvidas.
Quando digo isto, alguns torcem o nariz: "mas se envolvem limite, como vamos abordar no ensino elementar?" Simples: os conceitos de infinito e limite sao inevitaveis na Mat. elementar. So porque no ensino superior, esses conceitos sao vistos de uma forma sofisticada e formalizada (muito necessaria, alias), nao quer dizer que nao possam ser abordadas antes de forma mais intuitiva.
Mas "intuitiva" nao quer dizer errada ou enganadora. Nao podemos enganar as criancinhas, passando por cima da questao conceitual, e apelando apenas para regras operacionais. Os exemplos do Hugo sao interessantes para mostrar que essas regras nao vao sempre funcionar. Como costuma dizer o Elon (isto eh, o Prof. Elon Lages Lima), ensinar Mat. eh como educacao sexual: muitas vezes nao se pode logo dizer toda a verdade para uma crianca, mas tambem nao se pode dizer para ela coisas que mais tarde serao desmentidas.
Talvez o "argumento" mais usado ( e muito convincente, em geral) para 0,999..=1 eh o seguinte:
0,999...=x
9,999...=10x
Subtraindo: 9=9x
x=1
Novamente: por que a primeira passagem? porque se extrapola para o infinito uma regra que sabemos valida para o finito (multiplicar por 10 equivale a andar com a virgula). Na realidade, as passagens sao validas, essencialmente porque limite de 10 vezes algo eh 10 vezes o limite de algo, mas repito: sem discutir o que querem dizer os pontinhos, este argumento eh:
1) desonesto e embromativo: mah educacao sexual;
2) enganador, como mostram os exemplos do Hugo.
O que fazer entao? eh uma longa historia, mas sugiro uma visao geometrica sobre a reta.
Por exemplo, resumindo muito: 0,999...eh o unico ponto pertencente a todos os intervalos fechados: [0,9; 1]; [0,99; 1], etc.
Geometria para ver e entender. Algebra para fornecer exatidao.
JP
 
----- Original Message -----
Sent: Wednesday, August 08, 2001 8:39 PM
Subject: Dizimas e Infinito Novamente...

Olá colegas da lista, estive lendo os arquivos dessa lista, sobre a questão das dízimas... achei bastante interessante e esclarecedor tudo o que foi discutido aqui mas ainda me restaram algumas dúvidas e por isso gostaria de trazer essa questão à tona mais uma vez...
 
0,999...=1 , para mim isso ficou bastante claro mas me surgiu uma outra duvida
2/3=0,666...  mas
0,666...+
0,666...
0,666...
=
1,9...98        devemos considerar esse número como sendo =0,999...=1 ???? e essa ainda mais intrigante:
4/9=0,444... mas
0,444...*9=3,9...96  e da mesma forma fiz isso com outras fraçòes...
 
e agora, esse número é igual a quatro? e quanto aos numeros 3.9...97, e 3.9...98? também sao iguais a quatro? Ou  será que podemos dizer que numeros desse tipo na verdade sao diferentes mas que na verdade nao sao ordenáveis entre si? (Essa ultima pergunta me parece bastante interessante dentro dos Reais e acho que poderia gerar boas teses...)
 
Outra coisa que me deixou com uma pulga atrás da orelha foi a noção de infinito. Por exemplo, num plano sabemos que existem infinitas retas, também sabemos que a uma dada r reta no plano existem infinitas retas paralelas a esta mesma reta.É bastante claro que nem todas as retas do plano sao paralelas à reta r. Podemos entao dizer que no plano existe um numero maior de retas do que o numero de retas que sao paralelas a r??? (nao sei se ficou bem claro... bem na minha opiniao nao podemos fazer essa afirmaçao, mas isso gerou controvérsias entre meus colegas...)
usando disso surgiu uma pergunta: que número é maior 0,9...9 ou 0,999... ?    
...
Bem, sei que esse assunto jah foi bem discutido aqui na lista, mas aqueles que puderem me ajudar nisso ou quiserem discutir sobre o assunto podem me enviar e-mails fora da lista, iver@infonet.com.br
Abraços a todos,
Hugo