Re: SELEÇÃO IMO

["Bruno Leite" <bruleite@xxxxxxxxxx>]

Linda solução! Nunca tinha conseguido fazer essa questão...

Bruno

-----Mensagem original-----
De: Marcelo Rufino de Oliveira <marcelo_rufino@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 1 de Agosto de 2001 03:25
Assunto: Re: SELEÇÃO IMO


>Na segunda questão faça o seguinte:
>
>2) se a = sqrt(4-sqrt5-a), b = sqrt(4+sqrt5-b), c = sqrt(4-sqrt5+c) e
>d = sqrt(4+sqrt5+d), calcule a*b*c*d.
>
>Solução:
>
>Inicialmente note que, devido as equações que definem a, b, c e d, então
>estes valores são todos distintos.
>
>Elevando ao quadrado duas vezes as equações obtemos:
>
>(1) (a^2 - 4)^2 = 5 - a   =>   a^4 - 8a^2 + 16 = 5 - a   =>
>a^4 - 8a^2 + a + 11 = 0
>
>(2) (b^2 - 4)^2 = 5 - b   =>   b^4 - 8b^2 + 16 = 5 - b   =>
>b^4 - 8b^2 + b + 11 = 0
>
>(3) (c^2 - 4)^2 = 5 + c   =>   c^4 - 8c^2 + 16 = 5 + c   =>
>c^4 - 8c^2 - c + 11 = 0
>
>(4) (d^2 - 4)^2 = 5 + d   =>   d^4 - 8d^2 + 16 = 5 + d   =>
>d^4 - 8d^2 - d + 11 = 0
>
>Assim, a e b são 2 das 4 raízes do polinômio  P(x) = x^4 - 8x^2 + x + 11 e
>c e d são 2 das 4 raízes do polinômio Q(x) = x^4 - 8x^2 - x + 11.
>
>Aplicando x = - c em P(x) temos:
>P(- c) = c^4 - 8c^2 - c + 11 = 0   =>   - c é raiz de P(x).
>
>Aplicando x = - d em P(x) temos:
>P(- d) = d^4 - 8d^2 - d + 11 = 0   =>   - d é raiz de P(x).
>
>Deste modo, as raízes de P(x) são  a, b, - c e - d.
>
>Como a multiplicação das raízes P(x) é igual a  11,
>temos que  a.b.(- c)(- d) = 11   =>   abcd = 11.
>
>
>Falou,
>Marcelo Rufino de Oliveira
>
>
>----- Original Message -----
>From: Henrique Lima <santanahenrique@hotmail.com>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Tuesday, July 31, 2001 11:16 PM
>Subject: SELEÇÃO IMO
>
>
>>
>>   alguém pode ajudar nesses problemas?
>> 1)se m e n são inteiros positivos tais q 2^n  - 1 divide m^2 +9, prove q
n
>> eh uma potencia de 2
>> se n eh uma potencia de 2 prove q existe um inteiro m (positivo) tal q
2^n
>> -1 divide m^2 + 9
>> 2)se a=sqrt(4-sqrt5-a), b=sqrt(4+sqrt5-b), c=sqrt(4-sqrt5+c) e
>> d=sqrt(4+sqrt5+d), calcule a*b*c*d
>> 3)sejam Q+ e Z os conjuntos dos racionais estritamente positivos e o
>> conjunto dos inteiros. determine todas as funções f:Q+ ->Z satisfazendo
as
>> seguintes condições:
>> (i)f(1999)=1
>> (ii)f(ab)=f(a)+f(b) ,pra qq a,b racionais estritamente positivos
>> (iii)f(a+b)>=min{f(a),f(b)}, pra qq a,b racionais estritamente positivos
>>
>>     valeu!
>>
>> _________________________________________________________________
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>>
>