Re: olá e problemas :)

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

Acho que cheguei a uma solução para o quinto problema da Fernanda, aí vai...

5.Mostre que todo nº racional positivo pode ser representado sob a forma r =
(a^3 + b^3)/(c^3 + d^3)   a, b, c, d inteiros positivos

Solução:
(I) Primeiro vou mostrar que todos os racionais entre 1/2  e 2 podem ser
expressos da forma  r = (a^3 + b^3)/(c^3 + d^3)   a, b, c, d inteiros
positivos
Para isso faça  a = c  e  b + d = a. Assim:
r = (a^3 + b^3)/(a^3 + d^3) = [(b/a)^3 + 1]/[(d/a)^3 + 1] = [((a - d)/a)^3 +
1]/[(d/a)^3 + 1] = [(1 - (d/a))^3 + 1]/[(d/a)^3 + 1]
Fazendo  d/a = x  temos que  r = [(1 - x)^3 + 1]/[x^3 + 1].
Dividindo em cima e em baixo por  x^2 - x + 1  temos que  r = (2 - x)/(1 +
x)   =>   x = (2 - r)/(1 + r)
Esta expressão mostra que para qualquer racional r temos um racional x (que
é igual a d/a) tal que  r = (2 - x)/(1 + x).
Como  0 < x < 1  e reescrevendo r da forma  r = - 1 + 3/(1 + x)  concluímos
que  1/2 < r < 2, ou seja, acabamos de provar que qualquer racional r entre
1/2 e 2 pode ser escrito da forma r = (a^3 + b^3)/(c^3 + d^3)  bastanto
fazer  a = c  e  b + d = a.

(II) Note que r é um racional da forma  r = (a^3 + b^3)/(c^3 + d^3)  se e
somente se  s = r.(x/y)^3  também é (x e y inteiros positivos), uma vez que
s = ((a.x)^3 + (b.x)^3)/((c.y)^3 + (d.y)^3).
Assim, pela expressão  s = r.(x/y)^3  (r um racional entre 1/2 e 2) podemos
conseguir qualquer racional positivo s, através da escolha adequada de r e
x/y.

Acho que é isso. Não sei se é necessária uma demonstração mais criteriosa da
última conclusão... acredito que está completa, mas quem quiser completar
melhor o final da demonstração fique a vontade.

Se não me angano essa questão foi proposta para o banco de uma IMO recente,
não sei se foi na IMO de 1999 ou na 2000...

Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira.