Re: olá e problemas :)

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

Estou pegando o bonde andando (estava de férias), nem sei se alguém já
resolveu esta questão em e-mails anteriores, mas achei bem legal e estoiu
mandando uma solução:

6.Determine todas as funções f:R->R que possuem a propriedade:  f(xf(x) +
f(y)) = (f(x))^2 + y  pra todos os reais x e y.

Solução:
Faça  x = 0   e   b = f(0)   =>   f(f(y)) = b^2 + y
Esta equação mostra que f(x) é uma função injetora  e sobrejetora(*), ou
seja, existe um número c tal que f(c) = 0
Faça  x = c   =>   f(f(y)) = y
Faça  y = 0   =>   f(xf(x)) = (f(x))^2   (1)
Faça  x = f(y) em (1)   =>   f[f(y)f(f(y))] = [f(f(y))]^2   =>   f(yf(y)) =
y^2   (2)
Comparando  (1)  e  (2)  temos que  f(x)^2 = x^2   =>   f(x) = x  ou  f(x)
= - x
Testando notamos que tanto f(x) = x  quanto  f(x) = - x  satisfazem  f(xf(x)
+ f(y)) = (f(x))^2 + y.

(*) Demonstração que f(y) é injetora, partindo somente de  f(f(y)) = b^2 +
y:
Suponha que f(y) não é injetora, ou seja, existem os reais distintos m e n
tais que  f(m) = p  e  f(n) = p,  p um real qualquer.
Faça  y = m   =>   f(f(m)) = b^2 + m   =>   f(p) = b^2 + m
Faça  y = n   =>   f(f(n)) = b^2 + n   =>   f(p) = b^2 + n
que é uma contradição, pois m é diferente de n, e o valor de f(p) deve ser
um só (senão não é função).

Demonstração que f(x) é sobrejetora:
Como  f(f(y)) = b^2 + y  e  podemos fazer o termo  b^2 + y  assumir qualquer
valor real (substituindo para isso o valor de y necessário) então  f(f(y)) é
uma função sobrejetora. Evidentemente o conjunto imagem da função  f(f(y))
é um subconjunto do conjunto imagem de f(y). Como o conjunto imagem de
f(f(y))  são todos os reais, temos que o conjunto imagem de f(y) também deve
ser o conjunto dos números reais, implicando que f(y) é sobrejetora.

Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira