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Olá.
Bom, para n=1, temos 1+a
>= 1+a (verdadeiro).
Suponha que a proposicao já foi provada p/ o natural n,
i.e., sabemos q (1+a)^n >= 1+na, qq a>=-1. Tentemos prová-la p/ o
natural n+1, ou seja queremos mostrar q (1+a)^(n+1) >= 1+(n+1)a. Como?
P/ fazer aparecer esse (1+a)^(n+1), basta multiplicar o
(1+a)^n da desigualdade q assumimos ser verdadeira por (1+a), certo? Entao
é só fazer isso: multiplicamos a desigualdade da hipotese por 1+a
(>=0), chegando em (1+a)^(n+1) >= (1+na)(1+a) = 1+(n+1)a+na^2. Como
a^2>=0 (frescura 1) e n>0, na^2>=0, e (1+a)^(n+1) >= 1+(n+1)a,
exatamente como queríamos.
P.S.: Frescura número 1:
P/ ver q a^2>=0, qq a real, veja q
1)se a=0, a^2=0>=0;
2)se a>0, multiplicando por a dos dois lados vem
a^2>0.a=0;
3)se a<0, entao -a>0, e por (2), (-a)^2>0. Entao
a^2=(-a)^2>0 (frescura 2).
Frescura número 2:
(-a)(-b)=ab (o famosíssimo "menos com menos
dá mais"):
Considere a expressao ab+[a(-b)+(-a)(-b)]. Usando apenas a
associativa da adicao e a distributiva, vc pode provar q isso eh igual, tanto a
ab, quanto a (-a)(-b). (vc pode tentar. use q 0 vezes qq real é igual a
0.)
t+
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