RES: Problemas da IMO

["M. A. A. Cohen" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

é isso mesmo.
Marcio

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Eduardo Casagrande Stabel
Enviada em: quarta-feira, 11 de julho de 2001 06:01
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: Problemas da IMO


Eu achei uma soluccao bem rapida para esse problema. Vejam se confere com a
de voces.

Sejam {p1,p2,...,p(n!)} todas as permutaccoes de {1,2,...,n}.

Fazendo a soma direta da S de todas as permutaccoes temos
SOMA{ S(pi) } = SOMA{ k_i }*[1+2+...+n]*[n!/n] = SOMA{ k_i }*(n+1)*n!/2,
esse ultimo numero certamente eh divisivel por n! pois (n+1) eh par.

Supondo, por absurdo, que nao valesse o enunciado, teriamos {S(p1), S(p2),
..., S(p(n!))} um conjunto com todos os restos possiveis na divisao por n!,
logo
SOMA{ S(pi) }= 1+2+...+n! = n!(n!+1)/2 (mod n!), esse ultimo termo nao eh
divisivel por n!, pois (n! + 1) eh impar. Chegamos a uma contradiccao.

Logo existem duas permutaccoes diferentes b e c, tal que S(b) - S(c) eh
divisivel por n!.

Eduardo Casagrande Stabel.

> 4.
>
> Seja n um inteiro impar maior do que 1
> e sejam k_1, k_2, ..., k_n inteiros dados.
> Para cada uma das n! permutacoes a=(a_1, a_2, \dots, a_n)
> de {1, 2, ..., n}, defina
>
> S(a) = \sum_{i=1}^n k_i a_i.
>
> Prove que existem duas permutacoes b e c, b != c,
> tais que n! eh um divisor de S(b) - S(c).
>