Re: RES: Problemas da IMO - Questao 1

[Edson Ricardo de Andrade Silva <latino@xxxxxxxxxx>]

Vamos lá, uma outra solucao para a questao 1.

Seja {ABC} a medida do angulo <)ABC.

Seja M o ponto medio do lado BC. Como O é o circuncentro, entao temos:
{MOC} = {CAB}.  Logo, {OCM} = 90 - {MOC} = 90 - {CAB}.  (I)

Agora, observe que temos que provar que 90 - {CAB} > {COP}, ou seja
(usando I), {OCP} = {OCM} = 90 - {CAB} > {COP}. 

Esta ultima condicao é equivalente a termos OP > PC. ( Basta considerarmos
o triangulo POC e percebemos que os maiores lados estao opostos aos
maiores angulos).

Sejam OP = x, PC = y , a, b e c os lados do triangulo e R o raio da
circunferencia circunscrita a ABC.

Entao temos (Potencia de Ponto):
		(R + x)*(R - x) = (a - y)*y

			...

		R*R - a*y = x*x - y*y.

Provar que x > y equivale a provarmos que R*R > a*y  (II)

Para simplificar ainda mais a escrita, coloquemos {BAC} = A, {ABC} = B e
{ACB} = C.

Observe que y = b*cos(C), b = sen(B)*2R  e a = sen(A)*2R

Colocando tudo isso em (II), temos:

R*R > sen(A)*2R*sen(B)*2R*cos(C).

Por ultimo, todo o nosso problema se resume a mostrar que:

DADOS A, B, C ANGULOS DE UM TRIANGULO ACUTANGULO, COM C >= B + 30, PROVAR
QUE   sen(A).sen(B).cos(C) < 1/4.

Agora fica facil...

Como temos C >= B + 30 , entao cos(C) <= cos(B+30), logo:

sen(A).sen(B).cos(C)  <= sen(A).sen(B).cos(B+30).   (III) 

Mas, sen(B).cos(B+30) = (sen(B + B+30) + sen(B - (B+30)))/2 =
= (sen(2B+30) -1/2)/2. Substituindo em III, temos:

sen(A).sen(B).cos(C) <= (sen(A)/2) * (sen(2B+30)-1/2), como sen(A) e
sen(2B+30) sao ambos menores que 1, segue que esta ultima desigualdade se
resume a < (1/2)*(1 - 1/2) = 1/4.  


				Silva, E.R.A
				MsC Student - Computer Sciences
				Federal University of Ceara
				



On Mon, 9 Jul 2001, M. A. A. Cohen wrote:

> Acho que consegui fazer a primeira.. vou escrever aqui os pontos principais
> pra quem puder me dar uma ajuda em conferir se eu nao errei nada..
> (provavelmente eh a solucao mais grande e grotesca que seria possivel de se
> dar para esse problema, mas foi o melhor que eu consegui. daqui a pouco
> aparecem solucoes (bem) menores)..