Re: Polinômios...

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

Aí vai uma solução usando divisão de polinômios:
1) 1a solução:
x^3 + px + q = (x^2 + ax + b)(x + c)   =>   x^3 + px + q = x^3 + (a + c)x^2
+ (b + ac)x + bc
x^3 + px + q = (x^2 + rx + s)(x + t)    =>    x^3 + px + q = x^3 + (r +
t)x^2 + (s + rt)x + st
Concluímos então que:
a = - c
r = - t
b + ac = s + rt
bc = st

Assim:  b = s + rt - ac =  (bc)/t - r^2 + a^2 = (ab)/r - r^2 + a^2   =>
b - (ab)/r = - (a + r)(a - r)   =>   (b/r)(a - r) = - (a + r)(a - r)   =>
b/r = -(a + r)   =>   b = - r(a + r).


Agora outra solução, porém usando as relações de Girard:
2) 2a solução:
Do enunciado tiramos que as 2 raízes de x^2 + ax + b (c e d) e as 2 raízes
de x^2 + rx + s (t e u) também são raízes de  x^3 + px + q. Como x^3 + px +
q  possui somente 3 raízes, então x^2 + ax + b e x^2 + rx + s possuem uma
raiz em comum. Digamos que  u = c.
Assim:
c + d = - a   cd = b
c + t = - r     ct = s

Como a soma das raízes de  x^3 + px + q  é zero:  c + d + t = 0
Como  c + t = - r   =>   t = a   =>   c = - (a + r)
Como  t - d = a - r   e   t = a   =>   d = r

Portanto:  b = cd   =>   b = - r(a + r)

Falou,
Marcelo Rufino


----- Original Message -----
From: Héduin Ravell <heduin@yahoo.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, July 02, 2001 12:44 PM
Subject: Polinômios...


> Meus cumprimentos,
>
> Por favor, gostaria que tentassem resolver o seguinte problema:
>
>   Se  x^3 + px + q é divisível por x^2 + ax + b e por x^2 + rx + s,
> demonstrar que b = -r (a + r) .
>
>
>
> Agradeço desde já.
>
>
>
> "Hipótese é uma coisa que nao é,
> mas a gente faz de conta que é,
> pra ver como seria se ela fosse."
>
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