Re: Questao de Analise

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Para facilitar a msg do Nicolau.

Seja H_n = sum 1/i para i=1,2,...n

Então

H_n = log n + gamma + 1/2n - 1/12n^2 + 1/120n^4 - erro, onde 0 < erro <
1/252n^6

O livro Matemática Concreta do Knuth mostra isso.

Fazendo n=2n, vem:

H_{2n} = log (2n) + gamma + 1/2(2n) - 1/12(2n)^2 + 1/120(2n)^4 - erro

Daí,

H_{2n}  ~= log 2 + log n + gamma

E

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... - 1/2n ~= log 2

tem em todo livro de Cálculo.

[ ]'s
Lu'is


-----Mensagem Original-----
De: Nicolau C. Saldanha <nicolau@mat.puc-rio.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Terça-feira, 5 de Junho de 2001 17:47
Assunto: Re: Questao de Analise


On Mon, 4 Jun 2001, Eduardo Casagrande Stabel wrote:

...
> O exercicio que eu proponho (que esta no livro Elon Lages Lima, "Analise
> Real" Volume 1) eh o seguinte:
> Pagina 47 (exercicio 2). Efetue explicitamente uma reordenaccao dos termos
> da serie (1-1/2+1/3-1/4+-...) de modo que sua soma se torne igual a 1/2.

Não sei se o que eu vou dar conta como solução explícita, mas...

1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n-1) ~= log 2 + (log n + gamma)/2
1/2 + 1/4 + 1/6 + ... + 1/2n   ~=         (log n + gamma)/2

onde ~= significa que o limite da diferença é zero,
todos os log são na base 'e' e gamma é a constante de Euler.
Estas fórmulas seguem de

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... - 1/2n ~= log 2
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... + 1/2n ~= log 2 + log n + gamma,

fórmulas bem conhecidas (mas que eu não acredito que apareçam
no livro do Elon).

Se desejamos reordenar os termos para obter outra soma a
(qualquer número real) devemos tomar aproximadamente b ímpares para
cada par, ou seja estamos calculando

(1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2bn-1)) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + ... + 1/2n) ~=
~= log 2 + (log bn + gamma)/2 - (log n + gamma)/2 = log 2 + log b = a

ou seja, b = exp(a)/2. No seu caso, a = 1/2 donde b = exp(1/2)/2,
um número irracional, o que me leva a ter pouca fé na existência
de uma solução mais elementar ou mais explícita. Por outro lado,
duvido que o Elon tivesse em mente a solução que eu acabo de apresentar.

[]s, N.