Questao de Analise

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Como eu sei que muitos alunos dessa lista sao de primeiro e segundo grau, e
muitos nao estudaram analise ainda, entao vou dar umas explicaccoes.

Uma sequencia (infinita) de numeros reais (a_1, a_2, a_3, ...., a_n, ...) eh
uma sequencia convergente se existe um numero real L (chamado de limite da
sequencia) com a seguinte propriedade:
Para qualquer E positivo que se escolha, existe um numero inteiro N, de
forma que se n > N, entao |a_n - L| < E.

(o que quer dizer, informalmente, que nao interessa quao pequeno se escolha
o E, sempre teremos a cauda da sequencia, a partir de um certo N, no
intervalo (L - E, L + E), ou seja, tao perto quanto se queira de L).

Se demonstra (eh um exercicio facil) que se existir o limite, ele eh unico.
Tambem vale que toda sequencia monotona (nao-decrescente ou nao-crescente)
que eh limitada (existe um K, tal que |a_n| < K) eh uma sequencia
convergente.

Se a sequencia (s_1, s_1+s_2, s_1+s_2+s_3, ...., s_1+s_2+...+s_n, ...) eh
uma sequencia convergente e a sequencia (|s_1|, |s_1|+|s_2|,
|s_1|+|s_2|+|s_3|, ..., |s_1|+|s_2|+...+|s_n|, ...) nao eh uma sequencia
convergente entao a soma s_1+s_2+...+s_n+ ... eh chamada de uma serie
condicionalmente convergente. (ela eh chamada de absolutamente convergente
se, com os modulos, ela convergir)

Um teorema, devido a Riemann (ou pelo menos esse eh o nome dado no livro do
Elon), diz que voce pode rearranjar os (s_k)´s numa serie condicionalmente
convergente para que ela convirja para qualquer numero (a ideia eh ir
somando os termos positivos s_k´s ate ultrapassar certo L, depois os termos
negativos ate a soma ficar menor, depois os positivos, depois os negativos,
e assim vai; dai o limite vai ser o L).

O exercicio que eu proponho (que esta no livro Elon Lages Lima, "Analise
Real" Volume 1) eh o seguinte:
Pagina 47 (exercicio 2). Efetue explicitamente uma reordenaccao dos termos
da serie (1-1/2+1/3-1/4+-...) de modo que sua soma se torne igual a 1/2.

Eu nao tive ideia de como comeccar.

Muito Obrigado!
Eduardo Casagrande Stabel.