Re: Módulos_e_outros

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Olá a todos!

Bom, podemos definir módulo usando o conceito de
produto interno. Definimos produto interno em algo que
se chama espaço vetorial (cujos elementos são chamados
vetores). Dizemos que um conjunto é um espaço vetorial
se para todos a, b pertencentes no conjunto a + bx
também pertence ao conjunto para todo escalar (grosso
modo, número real) x (estando, é claro, bem definida a
multiplicação de um vetor por escalar). Por exemplo, o
conjunto dos complexos é um espaço vetorial (prove!),
então faz sentido dizermos que um número complexo é um
vetor. Na verdade, R^n tb é espaço vetorial para todo
n natural (prove!).

Agora, definamos produto interno. Dados dois vetores
a, b de um espaço vetorial S, um produto interno <a,b>
é uma função de S^2 em R que tem as seguintes
propriedades (não sei se essas são todas que devem
ter, não lembro direito):

i) <a,a> >= 0 para todo a em S
ii) <a,b> = <b,a> para todos a,b em S
iii) <a,b+c> = <a,b> + <a,c> para todos a,b,c em S
(supondo definida adição em S, com todas as
propriedades que uma adição deve ter)
iv) <ax,b> = x<a,b> para a,b em S e x real.

Por fim, definimos módulo como a raiz quadrada (em
reais!) de <a,a>. Por exemplo, se S=R e o produto
interno é a multiplicação normal, temos |a| = raiz de
a^2.

Em R^n, sendo
a=(a1,a2,...,an) e b=(b1,b2,...,bn),
um produto interno muito utilizado é
<a,b>=a1.b1 + a2.b2 + ... + an.bn

Desta forma,
|a|=raiz de (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)

Algo interessante sobre o produto interno é que a
desigualdade de Cauchy-Schwarz pode ser reescrita como
<a,a>.<b,b> >= <a,b>^2
e isso é válido para qualquer produto interno. Para
provar isso, use o fato de que <a+bx,a+bx> >= 0 e
chegue em uma equação de segundo grau em x (x é real)
que, como é sempre verdadeira, tem delta <= 0.

Assim, como de Cauchy-Schwarz,
-1 <= <a,b>/(|a|.|b|) <= 1,
podemos definir ângulo entre dois vetores a e b como
arccos r, onde r = <a,b>/(|a|.|b|).

Ah, outra maneira de ver o módulo em R^n é como a
distância do ponto (a1,a2,...,an) à origem.

Espero que isso tenha te ajudado. Sobre o plano de
Armand-Gauss, não sei como surgiu a idéia...

--- Gustavo Martins <namosca@zaz.com.br> wrote:
> Qual a definição fundamental de módulo, com qual
> objetivo os módulos tiveram que ser criados e como
> surgiu a idéia de fazer o plano de Argand-Gauss do
> jeito que ele é?
> 
> []s,
> Gustavo
> 



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