Re: função composta

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

f(x) = |x|.

f(x) = (x + |x|)/2.

        / x, x >= 0
        |
f(x) =  <
        |
        \ -x^3, x < 0

...

[]s, N.

On Sat, 12 May 2001, Marcelo Rufino de Oliveira wrote:

> Interessante este contra-exemplo. Mas existem outras funções, que não sejam
> f(x) = x ou f(x) = k, tais que  f(f(x)) = f(x)? Acredito que podem até
> existir algumas funções com domínio dentro de um intervalo específico [a,
> b], mas será que existe alguma com domínio nos reais? Ficam aí as perguntas.
> Marcelo Rufino
> 
> ----- Original Message -----
> From: Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Monday, May 07, 2001 8:21 PM
> Subject: Re: função composta
> 
> 
> > Nao entendi esta historia de "lei do corte" (??)
> > De modo nenhum f(f(x))=f(x) implica f(x)=x. Basta pensar numa funcao
> > constante.
> > JP
> >
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: Fábio Arruda de Lima <fabioarruda@enter-net.com.br>
> > To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Sent: Sunday, May 06, 2001 1:04 AM
> > Subject: Re: função composta
> >
> >
> > > Oi galera,
> > > A solução dada pelo Eric foi legal. Entretanto, fica uma pergunta.
> > >
> > > f(f(x)) = f(x)    =>   f(x) = x  (vale a lei do corte), e, além disso:
> > >
> > > f(x) = x  => f(f(x)) = f (x) (vale a lei de aplicar a mesma função aos 2
> > > membros)
> > >
> > > Pois, como ele poderia imaginar que f(f(y))=y+2*c => f(y)=y+c (linear)
> > >
> > > Seguindo, na solução da Questão da IMO - 1992, gostaria de sugerir
> alguns
> > > passos padrões, apenas para facilitar:
> > > 1) fazer x=y=0 conduz a f(0)=K (constante);
> > > 2) calcular o valor da constante K (neste caso foi "zero");
> > > 3) tentar verificar se f(x+y)=f(x)+f(y), f(x-y)=f(x)-f(y) ou qualquer
> > outra
> > > das equações funcionais bácisas, para poder enquadrar a f(x);
> > > 4) se a função é par ou impar;
> > > 5) "chute" que f(x) é uma função elementar de acordo com o achado do
> item
> > 3;
> > > 6) Apele! Estude a continuidade, convergência, monotonicidade,
> contornos,
> > a
> > > que conjunto pertencem os resultados (racionais, irracionais, reais,
> > > complexos, inteiros, ...), periodicidade, domínio, imagem,
> contradomínio,
> > > transformadas, diferenciabilidade, etc
> > >
> > > Assim, a solução ficaria da seguinte forma:
> > >
> > > a) x=y=0 e f(0)=k, partimos para valores de f(k), f(k^2), f^2(k),
> > > precisaremos:
> > > f( f(0) )=k^2 => f( k=f(0) )=k^2 => f(k)=k^2
> > > y=0 e x=1=> f(x^2+k)=f(x)^2  => f(1+k)=f(1)^2
> > > x=0 e y=x => f(f(x))=x+k^2 => f(f(1))^2=(1+k^2)^2
> > > Por último, para o cálculo do valor de K, temos:
> > > x=k e y=1+k => f(k^2 + f(1+k))=1+k+ f(k)^2 = 1+k+k^4           (i)
> > > x=f(1) e y=k  => f(f(1)^2+f(k))=k+f(f(1))^2 = k + (1+k^2)^2       (ii)
> > >
> > > f(k^2+f(1)^2)=f(f(1)^2+f(k) => (i) e (ii) são iguais, logo k=0;
> > >
> > > Com k=0, temos f(f(x))=x   e  f(x^2)=f(x).
> > >
> > > b) f(x+y)=f(x) + f(y)
> > >     f(x-y)=f(x)-f(y)
> > >     f(-x) = - f(x)
> > >
> > > c) Diante disso, sugere-nos pelo item (b) que f(x)=c*x (linear)
> > >
> > > E daí por diante...
> > >
> > > Esta solução foi apresentada na página oficial da IMO, entretanto,
> tentem
> > > achar uma caminho melhor para mostrar que k=0.
> > >
> > >
> > > ----- Original Message -----
> > > From: Eric Campos Bastos Guedes <mathfire@ig.com.br>
> > > To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > Sent: Sunday, May 06, 2001 9:59 AM
> > > Subject: RES: função composta
> > >
> > >
> > > > >Agora, resolvam esta: (IMO - 1992)
> > > > >Ache todas as funções f::R -> R com a seguinte propriedade para todo
> > x,y
> > > E
> > > > >R (lê-se x pertencente aos Reais):
> > > > >
> > > > >f[x^2+f(y)]=y+[f(x)^2]
> > > >
> > > > Se descobrir a solução, favor mandar para a lista
> > > >
> > > > Acho que consegui uma solução, mas não tenho certeza.  Fazendo x=0 em
> > > > f(x^2+f(y))=y+(f(x)^2) vem
> > > >
> > > > f(f(y))=y+f(0)^2
> > > >
> > > > chamando 2c=f(0)^2 temos
> > > >
> > > > f(f(y))=y+2c, para todo y real
> > > >
> > > > Agora falta provar (se for verdade) que f(y)=y+c, daí vem
> > > >
> > > > f(x^2+f(y))=y+f(x)^2
> > > > x^2+y+c=y+(x+c)^2
> > > > x^2+y+c=y+x^2+2cx+c^2
> > > > c=2cx+c^2 para todo x, donde c=0 e f(y)=y para todo y real.
> > > >
> > > > Eric.
> > > >
> > > >
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> > >
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