Re: equações de recorrência

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,
Saudacoes !

Refletindo sobre a Boa Mensagem do colega Fabio Arruda, todos devem ter 
percebido que se uma sequencia e tal que :

Ai+1 - 2Ai + Ai-1 é uma constante nao nula, independente do indice "i", 
então :
Ai+1 - 2Ai + Ai-1 = K  =>  Ai+1 - Ai = (Ai - Ai-1) + K
Isto e: A diferença entre os termos é uma Progressao Aritmetica de 1 ordem. 
Vale dizer que num unico passo, mostrando que

Ai+1 - 2Ai + Ai-1 é uma constante nao nula

Garantimos que estamos diante de uma Progressao Aritmetica de 2 ordem.
Para provarmos que estamos diante de uma progressao aritmetica de 3 ordem 
basta mostramos que :

Ai+2 - 3Ai+1 + 3Ai - Ai-1 = K, K constante não nula.

E assim para todos as demais ordens. So a titulo de exercicio, mostre que a 
sequencia 2^3 + 6^3 + 10^3 + 14^3 + ... (4N-2)^3 atende a condicao de Ai+2 - 
3Ai+1 + 3Ai - Ai-1 ser constante e independe de N. Conclua que estamos 
diante de uma Progressão de 3 ordem.

Percebendo que :

A1=8,  A2=216,  A3=1000 e   A4=2744

Agora, ao inves de resolver um complicado sistema que demanda tempo e muitos 
calculos, aplique a formula :

Sn=A1*BINOM(N,1) + (A2-A1)*BINOM(N,2) + (A3-2A2+A1)*BINOM(N,3) + 
(A4-3A3+3A2-A1)*BINOM(N,4)

OBS : BINOM(N,P)=N!/(P!*(N-P)!)

Para obter a formula da soma ou a soma um numero determinado de parcelas.

Um abraco
Paulo Santa Rita
3,1740,08052001










>-----Mensagem Original-----
>De: Fábio Arruda de Lima <fabioarruda@enter-net.com.br>
>Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Enviada em: Sexta-feira, 4 de Maio de 2001 10:02
>Assunto: Re: equações de recorrência
>
>
>Caro Henrique,
>complementando o que o Eric colocou, diria que uma recorrência linear de
>K-ésima ordem terá como função característica um polinômio de grau de K.
>Seria interessante você procurar um livro específico sobre o assunto.
>Certamente, tem no IMPA e nas edições da SBM.
>Por exemplo, a(n+3) + a(n+2) + a(n+1) + a(n)=0 terá como termo geral da
>seqüência algo do tipo A(n)=p*n^3+q*n^2+r*n+s. Lembrei-me de uma aplicação
>interessante. Chamamos Prograssão Aritmética de ordem k, aquelas
>seqüências,
>cuja diferença de seus termos está em algum momento (k-ésimo) em PA. Veja
>bem, a seqüência não está em PA, somente a diferença de seus termos ou a
>diferença da diferença,...Exemplificando, seja a seqüência abaixo:
>
>6;11;35;98;220;(não está em PA/façamos a diferença dos termos dois a dois)
>5,24,63,122 .....(não está em PA/façamos a diferença dos termos dois a
>dois)
>19,39,59...........(PA de 3ª ordem com razão r=20)
>
>Logo, o termo geral será da forma A(n)=a*n^3+b*n^2+c*n+d
>
>A(1)=a+b+c+d=6 (substituindo n=1 e igualando o A1 da sequencia original)
>A(2)=8a+4b+2c+d=11 (substituindo n=2 e.............)
>A(3)=27a+9b+3c+d=35 (n=3)
>A(4)=64a+16b+4c+d=98 (n=4)
>
>Resolvendo-se o sistema, temos:
>
>a=20/6; b= - 63/6; c=79/6 ;d=0  => A(n)= 20/6*n^3 - 63/6*n^2+79/6*n
>
>Se quisermos saber o A(5), substituindo n=5, encontramos A(5)=220.
>
>Gostaria de fazer um alerta. Quando nos é dada a seqüência em termos de uma
>equação linear envolvendo, em vez dos elementos da sequencia, na forma a
>seguir: a(n+3);a(n+2);a(n+1);a(n);a(n-1).  Basta observar a variação de
>grau, neste caso é 4 (polinômio do 4º grau). No exemplo do Eric, Fibonacci,
>foi 2 (polinômio do 2º grau).
>Valeu Eric seu exemplo foi legal, um clássico.
>Um abraço
>Fábio

________________________________________________________________________
>Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
>

_________________________________________________________________________
Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.