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RE: Parte inteira - insistente (Huntley)
Ola,
Eu consegui o livro em um Sebo de livros usados. É realmente muito bom. Não
sei onde é vendido.
Um Abraço
Paulo Santa Rita
5,1343,19042001
>From: Eduardo Grasser <grasser@prt15.gov.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: RE: Parte inteira - insistente (Huntley)
>Date: Thu, 19 Apr 2001 08:11:15 -0300
>
>Desculpe entrar na conversa, mas o livro do Huntley não é mais publicado,
>é?
>Tive acesso ao livro pela biblioteca do LEM (laboratório de ensino da
>matemática) da UNICAMP. Amei!
>Procurei na internet e achei apenas a versão em inglês (não tenho, assim,
>como apaixonar um aluno que não tem familiaridade com a língua). Alguém
>sabe como arrumo a versão publicada pela Unb na década de 80? É um dos
>livros que faz falta na minha biblioteca particular.
>
>Eduardo Grasser
>Campinas SP
>----------
>De: Paulo Santa Rita[SMTP:p_ssr@hotmail.com]
>Enviada em: Quarta-feira, 18 de Abril de 2001 15:35
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>Assunto: Re: Parte inteira - insistente
>
>Ola Luis Lopes, Villard e
>demais colegas da Lista :
>
>Saudacoes !
>
>Tambem achei este problema sobre a serie dos inversos dos numeros de
>Fibonaci, interessante ... Nao me lembro de sua publicacao em algum momento
>anterior.
>
>Acredito que uma observacao do Villard, em essencia, resolveu a questao,
>cabendo-nos agora tao somente detalhar sua implicacoes. Eu nao levarei a
>solucao ate o final, mas vou indicar um caminho segura para se chegar a
>isso.
>
>Antes gostaria de Citar um Livro :
>
>A Divina Proporcao
>(Subtitulo : Um ensaio sobre a beleza na Matematica)
>H.E. Huntley
>Editora Universidade de Brasilia.
>
>Neste livro existe muita coisa interessante sobre o trio amoroso : numero
>de
>ouro, divisao em media e extrema razao e numeros de Fibonaci. So para
>aticar
>a curiosidade, alguem conhece uma sequencia infinita, nao constante, que
>seja simultaneamente progressao geometrica e aritmetica ? Vale a pena le-lo
>!
>
>Seja { 1, 1, 2, 3, 5, ..., Fn, ... } a sequencia de Fibonaci. Todos nos
>conhecemos a formula de recorrencia para esta sequencia :
>
>Fn+2 = Fn+1 + Fn.
>
>A sequencia que interessa e : { 1, 1, 1/2, 1/3, 1/5, ..., 1/Fn, ... }. Vou
>representar um termo generico desta sequencia por Gn. Assim : Gn = 1/Fn.
>
>Convencionando que “RZ_2(5)” representa a “raiz quadrada
>de cinco”, o numero fi - que muitos chamam de “numero de
>ouro” e que aqui sera representado por H – pode ser expresso
>como :
>
>H = ( ( 1 + RZ_2(5) ) / 2 ). Daí seque que : (–1) / H = ( ( 1 -
>RZ_2(5) ) / 2 )
>
>Sabemos que Binet mostrou que :
>
>Fn = ( 1 / RZ_2(5) )*( H^n - (-1/H)^n ). Daqui sai facil que : LIM
>Fn+1/Fn = H. E como Gn=1/Fn, segue que Gn+1 / Gn = Fn / Fn+1. Portanto :
>LIM
>Gn+1/Gn = 1/H. Ora, claramente que H > 1 e, portanto : LIM Gn+1/Gn = 1/H <
>1.
>
>O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, implica que a serie Gn : 1 + 1 + 1/2 + 1/3 +
>1/5 + ... + 1/Fn + ... é absolutamente convergente. Sendo seus termos
>todos positivos ... ELA E CONVERGENTE !
>
>
>Agora, a pergunta mais dificil : CONVERGE PRA ONDE ? PRA QUE NUMERO ?
>
>
>O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, mostra que para “n”
>suficientemente
>grande, a sequencia :
>
>Gn, Gn+1, Gn+2, ...
>
>Se comporta como uma PG infinita com razão menor que um. A titulo de
>visualizacao, calculei G31/G30 = 0.6180355 ... e G30/G29 = 0.6180355 ... (
>igualdade até a 6 casa apos o ponto decimal ! ).
>
>Podemos dizer, pois, numa primeira aproximacao, que a sua serie pode ser
>somada como seque :
>
>S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + {PG infinita de primeiro termo Gk e razao 1/H}. isto
>e
>:
>S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + Gk / ( 1 – (1/H) ).
>S= G1+G2+G3+...+Gk-1 + (H / ( H – 1) )*Gk
>
>A ideia acima, expressa pelo colega Villard, encerra a essencia da questao.
>O nosso proposito e, evidentemente, expressar S em funcao de alguma coisa
>conhecida. Assim, definimos a funcao :
>
>S(k)= G1 + G2 + G3 + ... + Gk-1 + (H / ( H – 1) )*Gk
>
>Não adianta pensar em calcular o valor do limite quando K tende ao
>infinito,
>dado que isto implicaria em zerar Gk e, portanto, eliminar o fator
>constante
>(H / ( H – 1) ) e voltariamos a ter que enfrentar o problema cru e
>intratavel diretamente. Todavia, e certo que existe um MELHOR VALOR DE ( ou
>EM FUNCAO DE ) K. Como Determinar este valor ?
>
>MINHA IDEIA
>
>Este melhor valor e o torna a diferenca entre S(K) e S ao menos um MINIMO,
>senao zero. Na diferenca os termos significativos da serie irao
>desaparecer,
>o que tornara as coisas mais faceis.
>
>Eu penso que daqui em diante as coisas ficam mais simples. Algum colega
>(talvez Villard ou Luis Lopes ou Duda ou Bruno ) pode querer completar as
>coisas e determinar K. E legal !
>
>Um abraco a todos
>Paulo Santa Rita
>4,1532,18042001
>
> >From: "Luis Lopes" <llopes@ensrbr.com.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Subject: Re: Parte inteira - insistente
> >Date: Tue, 17 Apr 2001 12:26:29 -0300
> >
> >Sauda,c~oes,
> >
> >< .... eu queria uma resposta fechada, ou seja, saber se realmente a
>série
> >converge ( que é o meu palpite ! ), ....
> >
> >Testar a convergência de uma série é uma coisa, achar a forma fechada
>(se),
> >outra. Escrevi para o prof. Rousseau sobre este problema por achá-lo
> >interessante etc e tal. Mas acho que o tiro saiu pela culatra. Vejam
>nossa
> >correspondência.
> >
> >===
> >Dear Luis:
> > Maybe the proposer had something in mind that I missed.
> >I would certainly be interested if he had some sort of exact
> >formula for the sum of the series. What I did to evaluate
> >\lfloor 50 * sum \rfloor was just based on expediency, so I
> >am pretty sure that there is a more satisfactory approach.
> >
> >Cecil
> >
> >Luis Lopes wrote:
> >
> >Dear Cecil,
> >
> >Many thanks. I thought the problem didn't have to resort to this
> >(Maple,numerical comparison etc) because he insisted on it. I thought it
> >was a "standard" exam problem. Sorry, it is a little disappointing. I
>will
> >forward your answer to the list. I do hope to have a feedback from the
> >"author" regarding his expectations, origin of this problem etc. Happy to
> >talk to you. Cheers, Luis
> >
> >===
> >
> >Então foi isso. E aí, alguém teria um ataque (approach) mais
>satisfatório?
> >
> >[ ]'s
> >Lu'is
> >
> > De: Rodrigo Villard Milet
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Enviada em: Segunda-feira, 16 de Abril de 2001 22:15
> > Assunto: Re: Parte inteira - insistente
> >
> >
> > Bem, se quer saber a origem do problema, é a seguinte:
> > O Marcelo Souza, daki da lista me manda às vezes uns problemas e ele
>me
> >mandou, certa vez um que era pra ver se uma série lá convergia.... daí,
>eu
> >percebi que a gente pode criar várias séries que geram problemas muito
> >intererssantes e a primeira que me veio à cabeça foi essa ! hehehehe....
> >nem sabia que nunca tinha sido feito... Da outra vez que ele apareceu na
> >lista tb fui eu que mandei... eu queria uma resposta fechada, ou seja,
> >saber se realmente a série converge ( que é o meu palpite ! ), pois
> >[(1-sqrt5)/2]^n tende a zero para n grande, logo a série se aproxima de
>uma
> >PG.... sei lá...
> > Abraços,
> > ¡ Villard !
> > -----Mensagem original-----
> > De: Luis Lopes <llopes@ensrbr.com.br>
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Data: Segunda-feira, 16 de Abril de 2001 19:29
> > Assunto: Re: Parte inteira - insistente
> >
> >
> > Sauda,c~oes,
> >
> > Aí vai a resposta "completa" para o problema.
> >
> > Sendo o que foi, qual o interesse do problema? Melhor dizendo,
> > você esperava uma resposta fechada? Qual a origem deste
> > problema? Também ficara curioso com ele e lembro-me que ele
> > aparecera há muito tempo na lista. E também não tivera nenhuma
> > idéia de como tratá-lo.
> >
> > Mais uma vez temos que nos contentar com uma resposta numérica.
> >
> > [ ]'s
> > Lu'is
> >
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