Re: dificuldade

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Muitos resultados e sub-resultados podem ser retirados desta desigualdade.
Vejam:

1) e^x > x^e para x >= 0;  x =! e. E daí e^pi > pi^e.

2) H <= G <= A, onde H = média har.; G = média geom.; A = média aritm.
(números positivos)

Esta demonstração pode ser vista na RPM 18.

[ ]'s
Lu'is

-----Mensagem Original-----
De: Jose Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Domingo, 15 de Abril de 2001 10:16
Assunto: Re: dificuldade


Vai depender de onde voce pode partir.
Um argumento eh o seguinte:
Pelo teorema do valor medio, dados a e b, existe c entre a e b tal que
f(b)-f(a)=(b-a) f´(c), onde f´ eh a derivada, e com as hipoteses
convenientes, que sao satisfeitas por f(x)=e^x. Como a derivada de e^x eh
ela mesma, fazendo b=x e a=0, vem:
e^x-1= x e^c. Como c estah entre 0 e 1 e f eh crescente: e^c>e^0 = 1. Logo:
e^x -1 > x.
este argumento eh para x>0. Mas para x<0 ou =0, eh obvio (nao?).

Ou entao, se voce sabe que Ln(1+x) eh a area sob a curva y=1/x entre 1 e 1+x
(novamente x>0), a figura te mostra que esta area eh menor que a do
retangulo de base x e altura 1 , ou seja: Ln(1+x) < x. como a exponencial eh
crescente, vem qua 1+x < e^x.

JP

----- Original Message -----
From: <Paz2001terra@aol.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, April 14, 2001 9:37 PM
Subject: dificuldade


> Como demonstrar a desigualdade ?
> e ^ x  maior ou igual a  1 + x , para todo x real
>