|
Hj me levaram um problema pra sala de aula e
disseram q está na revista Eureka.. o problema eh assim:
Seja N um número tal que d(2N^2) = 28 e d(3N^2) =30
determine d(6N^2) onde d(X) = número de divisres de X. Eu resolvi
assim:
Seja N = 2^a * 3^b * 5^c * ... * p^k
(onde p é um primo qualquer e a, b, c, ..., k são inteiros não
negativos)
Usando os dados escrevi que
d(2N^2) = (2a +2)(2b+1)(2c+1)(2d+1)...(2k+1) =
28
d(6N^2) = (2a +2)(2b+2)(2c+1)(2d+1)...(2k+1) = (2a
+2)(2b+2) * 28/[(2a+2)(2b+1)]=
= (2b+2)/(2b+1)*28 = [ (2b+1)/(2b+1) +
1/(2b+1)] * 28 = 28 + 28/(2b+1).
Como o numero de divisores eh inteiro, temos q a
parcela 28/(2b+1) deve ser inteira e portanto conclui que
2b + 1 = 1 ou 2b + 1 = 7, ou seja d(6N^2) =
58 (para b = 0) ou d(6N^2) = 32 (para b = 3)
repetindo esse raciocinio para d(3N^2) = 30,
obtem-se interseção unica para d(6N^2) = 32 e portanto conclui q esse eh o
numero procurado.
A solução está correta? há solução mais formal? eu
esqueci alguma propriedade importante?
Agradeço desde já a atenção.
[]'s MP
|