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Já que se falou em divisibilidade, alguem conhece
algum criterio universal, que valha para qualquer inteiro?
Bem, eu conheço um que eh mais ou menos isso:
Teorema: Seja b um inteiro relativamente primo com 10,
entao existe um inteiro a tal que qualquer que seja o natural n; n=10d+u;
0<=u<=9 , b|n se e so se b|d-au.
Ademais, se a_1 eh congruo ao a modulo b, entao a pode ser substituido
por a_1.
A prova eh mais ou menos a seguinte:
Como b e 10 sao primos entre si, existem inteiros x e y tais que bx+10y=1,
fazendo a=-y obtemos bx=10a+1. Agora
n=10d+u=10(d-au)+u(10a+1)=10(d-au)+bxu.
Portanto b|n se, e somente se, b|10(d-au), e como mdc(b,10)=1 temos que b|n
se, e somente se, b|d-au. Logo resultado segue.
Ademais, como existem infinitos valores de x e y tais que bx+10y=1, ha uma
infinidade de valores para o a , e determinando um deles, digamos a_0,
qualquer outro vem pela relacao a=bk+a_0, com k inteiro.
Como determinar o a ? lembrando que bx=10a+1, temos que
10a+1 eh um multiplo de b que termina em 1 e, em casos
particulares:
b=3; a=2
b=7; a=2
b=9; a=8
b=11; a=1
b=13; a=9
b=17; a=5
b=19; a=17
b=23; a=16
....
Exemplos:
1) 7|178583 ? bem 7|178543 se, e so se,
7|(17854-2.3), isto e, se, e so se, 7|17848. Agora 7|17848 sss 7|(1784-16),i.e,
sss, 7|1768. Agora 7|1768 sss 7|160. Como 7 nao divide 160, concluimos que
7|178583.
Em vez de a=2, poderiámos tambem tomar a=5931, uma vez
que 5931=2+7.847. Assim ,7|178543 sss 7|(17854-5931.3), i.e, sss 7|61. Como 7
nao divide 61, concluimos que 7 nao divide 178543.
2) 19|178543 ? tomemos aqui a_1=17+19.312, isto eh,
a_1=5945.
Assim, 19|178543 sss 19|(17854-5943.3),i.e, sss, 19|19. Como 19|19 temos
que 19|178543.
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