Re: ime 2001

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Prof Morgado,
Ola Colegas da Lista :

Eu nao escrevi antes, alertando-o que a solucao pelo pequeno
Teorema de Fermat havia sido apresentado na segunda solucao
(2 FORMA), porque imaginei que a mensagem chegara truncada a
sua maquina. Vejo que me enganei.

A solucao pelo Teorema de Fermat foi a primeiro que veio a
minha mente, mas, dado o nivel da questao, preferi iniciar
com uma solucao onde nao se falava em congruencias ...

Para os colegas da Nossa Lista que nao conhecem este Teorema
de Fermat ao qual o Ilustre Prof Morgado se refere, registro
que se "==" for lido como "e congruente a", entao vale :

(Teorema de Fermat )Se P e um numero primo e P nao divide A,
entao:

A^(P-1) == 1 (MOD P)

Claramente que isto implica que "A^(P-1)  -  1" e divisivel
por P. Pode-se deduzir muitas implicacoes elementares deste
teorema ... A questao em foco, apresentada pelo colega Falows,
e uma delas.

Apresento (mais) uma solucao, a "Solucao Burocratica" :

SOLUCAO DO BUROCRATA :

Seja L(K)=K^5 - K. Vemos que L(0)=0 : divisivel por 5, portanto.
Admitamos, pois, que L(K)=K^5 - K seja divisivel por 5. Entao :

L(K+1)=(K+1)^5 - (K+1)
L(K+1)=K^5 + 5K^4 + 10K^3 + 10K^2 + 5K + 1 - K - 1
L(K+1)=(K^5 - K)  +  5(K^4 + 2K^3 + 2k^2 + K)

Portanto, suponto L(K) divisivel por 5, segue obrigatoriamente
que L(K+1) tambem e, pois e formato pela soma das parcelas
K^5 - K=L(K) que, por hipotese de inducao, e divisivel por 5 e
5(K^4 + 2K^3 + 2k^2 + K) que e evidentemente divisivel por 5.

Logo, pelo Principio da Inducao Finita (1 FORMA), L(K) e divisivel
por 5 para todo inteiro K >= 0.

Seja agora P=-K, K inteiro e maior que zero. entao:

L(P)=(-K)^5 - (-K)= -K^5 + K = -(K^5 - K)

E vemos assim que K^5 - K e divisivel por 5 para qualquer
inteiro ( nao so os inteiro naturais ).

Um Grande Abraco Prof Morgado
Um Grande Abraco a Todos

Paulo Santa Rita
1,1140,04032001




>From: Augusto Morgado Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: 
>obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: ime 2001 Date: Sun, 04 Mar 2001 10:40:55 
>-0300
>
>To maluco! Consegui nao ler a segunda soluçao. Desculpem. Morgado
>
>Augusto Morgado wrote: > > Alem dessas (otimas) soluçoes, para mostrar a 
>divisibilidade por 5 > poder-se-ia usar (eis o canhao matando uma mosca) o 
>Pequeno Teorema de > Fermat. > > Paulo Santa Rita wrote: > > > > Ola Falows 
>e Amigos da Lista, > > > > Se o algarismo das unidades de "K^5" e de "K" 
>sao > > iguais, entao a diferenca "K^5 - K" termina em > > zero, vale dizer 
>: ela e multiplo de dez. > > > > Claramente que "K^5 - K" e multiplo de 
>dois, > > qualquer que seja o natural "K". Para ver isso, > > note que se 
>supormos que "K" e par, entao "K^5" > > sera necessariamente par e, 
>portanto, a diferenca > > "K^5 - K" sera do tipo "par - par" que e par; por 
> > > outro lado, supondo "K" impar, "K^5" sera impar e > > ,neste caso, 
>diferenca "K^5 - K" sera do tipo > > "impar - impar" que e par. > > > > 
>Resta provarmos que "K^5 - K" e tambem multiplo > > de cinco. Existe uma 
>grande quantidade de formas > > de se fazer isso ... > > > > 1 FORMA ( 
>Estilo "Aluno de 8 serie ) : > > Se "K" for multiplo de cinco, entao > > o 
>fato de "K^5 - K" poder ser colocado na forma > > K(K^4 - 1) mostra que 
>esta diferenca tambem e > > multiplo de cinco. Se "K" nao for multiplo de > 
> > cinco, entao, pelo algoritmo da divisao, ele > > podera ser colocado na 
>forma 5*q + r, com 0 < r < 5. > > > > Como : > > > > K^5 - K = K(K^4 - 1) = 
>K(K^2 - 1)(K^2 + 1) > > K^5 - K = K(K - 1)(K + 1)(K^2 + 1) > > > > Se r=1, 
>"K^5 - K" se transformara em > > (5p+1)*5p*(5p+2)[(5p+1)^2 + 1] ... > > 
>Multiplo de 5 ! > > > > Se r=4, "K^5 - K" se transformara em > > 
>(5p+4)*(5p+3)*(5p+5)*[(5p+4)^2 + 1] > > 5*(5p+4)*(5p+3)*(p+1)*[(5p+4)^2 + 
>1] ... > > Multiplo de 5 ! > > > > Se r=2 ou r=3 o fator "K^2 + 1" ira se > 
> > transformar, respectivamente, em > > (25p^2 + 20p + 5) =5*(5p^2 + 4p +1) 
>e > > (25p^2 + 30p + 10)=5*(5p^2 + 6p + 2), > > ambos multiplos de 5 ! > > 
> > > Esgotadas as hipoteses possiveis sobre r, > > so nos resta admitir que 
>"K^5 - K" e sempre > > multiplo de 5. > > > > 2 FORMA ( Estilo "Sintetico - 
>Como eu faria" ) : > > > > Vemos que K^5 - K = K(K^4 - 1). Se K for > > 
>multiplo de 5, claramente que K(K^4 - 1) > > tambem sera. Se nao for, 
>entao, pelo teorema > > de Fermat, K^4 e congruo a 1 modulo 5 e, > > 
>portanto, K^4 e 1 deixam o mesmo resto quando > > dividos por 5 e, assim, 
>k^4 - 1 e multiplo de 5. > > > > 3 FORMA ( Estilo "Rolo compressor" ) > > > 
> > E como voce fez, listando, pelo que entendi, > > todas as possibilidades 
>de combinacoes. E valido. > > > > Nota : Existe um teorema ( das quatro 
>cores ) > > cuja primeira prova consistiu em exibir todas > > as 
>combinacoes possiveis ... Muitas pessoas nao > > aceitam tal prova, outras 
>aceitam ... Em minha > > opiniao ( fraca, em face do que podem dizer os > > 
>Grandes Professores que orientam Nossa Lista ), > > uma "Prova por 
>Enumeracao" e um indicativo da > > falta de algum(ns) conceito(s) do(s) 
>qual(is) > > o fato provado por enumeracao possa ser derivado > > como 
>consequencia logica ! > > > > 4 FORMA ( Estilo "indutor" ) > > > > A praxis 
>seria supor que "P^5 - P" (K=P) e > > divisivel por 5 e mostrar que para 
>(K=P+1) > > obrigatoriamente tambem seria. Nao vou fazer, > > mas tenho 
>certeza que e tao simples como todos > > os outros casos ... > > > > Eu 
>acho que esta bom, mas neste momento estou > > vendo duas outras formas 
>diferentes de chegar > > a este resultado ... Isto mostra a simplicidade > 
> > da questao e a riqueza das tecnicas matematicas. > > > > Um Grande 
>Abraco pra voce > > Um Grande abraco pra todos os colegas da lista > > > > 
>Paulo Santa Rita > > 6,1158,02032001 > > > > Nota : Existe um Teorema ( das 
>quatro cores ) em que a prova > > > >   > > > >   > > > > >From: 
>"Exercicio~®" > > >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br > > >To: 
>obm-l@mat.puc-rio.br > > >Subject: ime 2001 > > >Date: Fri, 02 Mar 2001 
>00:27:53 -0300 > > > > > > > > > > > > Olá pessoal! > > > > > > Essa 
>questão foi do último vestibular do ime. Alguém poderia > > apresentar > > 
> >uma resolução formal para essa questão? > > > > > > > > > ( IME - 2001 ) 
> > > > > > > Prove que para qualquer número inteiro K, os números K e K^5 > 
> > terminam > > >sempre com o mesmo algarismo ( algarismo das unidades). > 
> > > > > > Eu faria assim: > > > > > >K = R_n onde n varia de 0 a 9 e R é 
>qq número inteiro. > > > > > >K = R_0 > > >K^5 = R_0 × R_0 × R_0 × R_0 × 
>R_0 = T_0, onde T é qq número inteiro > > > > > > K = R_1 > > > K^5 = R_1 
>×R_1 ×R_1 ×R_1 ×R_1 = T_1, onde T é qq número inteiro. > > > > > > K = R_2 
> > > > K^5 = R_2 ×R_2 ×R_2 ×R_2 ×R_2 = T_2, onde T é qq número inteiro. > > 
> >. > > >. > > >. > > >. > > >. > > >. > > > K = R_9 > > > K^5 = R_9 ×R_9 
>×R_9 ×R_9 ×R_9 = T_9, onde T é qq número inteiro. > > > > > > > > > Agora 
>fica a minha dúvida: Se num problema de demostraçao, caso eu > > >consiga 
>expor para o examinador TODOS os casos existentes(desde q > > seja > > 
> >viável, como nesse problema) para tal demostraçao, eu preciso > > 
> >necessariamente utilizar variáveis literais? > > > > > > No caso, se eu 
>estivesse fazendo essa prova, eu escreveria de R_0 > > até > > >R_9, 
>integralmente, ou seja, nao existiria as reticencias q eu > > coloquei > > 
> >entre R_2 e R_9 para poupar um pco + meu tempo...... > > > > > > 
>Obrigado. > > > > > > > > > Falow's > > > > > > Exercicio~® > > > > > > 
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