Re: ime 2001

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Note que provar isso � o mesmo que provar que E = (k^5 - k)/10 � sempre
inteiro, correto ??
E = k(k^2+1)(k+1)(k-1)/10
E = (k-1)k(k+1)(k^2+1)/10
Como os poss�veis restos na divis�o por 5 s�o -2,-1,0,1 e 2, podemos dividir
nos seguintes casos :
(i) k = -1, 0 ou 1 mod5
Como (k-1), k e (k+1) s�o divisores de E, para este caso 5 divide E
(ii) k = +-2 mod5
Como k^2 + 1 divide E, para k = +-2 mod5, temos que 5 divide E.
Como foram esgotados todos os casos, temos que 5 divide (k^5 - k)/10.

 Abra�os,
    � Villard !
-----Mensagem original-----
De: Exercicio~� <dacnf@uol.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Sexta-feira, 2 de Mar�o de 2001 01:02
Assunto: ime 2001


>
>
> Ol� pessoal!
>
> Essa quest�o foi do �ltimo vestibular do ime. Algu�m poderia apresentar
>uma resolu��o formal para essa quest�o?
>
>
> ( IME - 2001 )
>
> Prove que para qualquer n�mero inteiro K, os n�meros K e K^5 terminam
>sempre com o mesmo algarismo ( algarismo das unidades).
>
> Eu faria assim:
>
>K =  R_n onde n varia de 0 a 9 e R � qq n�mero inteiro.
>
>K =  R_0
>K^5 = R_0 � R_0 � R_0 � R_0 � R_0 = T_0, onde T � qq n�mero inteiro
>
> K = R_1
> K^5 = R_1 �R_1 �R_1 �R_1 �R_1  = T_1, onde T � qq n�mero inteiro.
>
> K = R_2
> K^5 = R_2 �R_2 �R_2 �R_2 �R_2  = T_2, onde T � qq n�mero inteiro.
>.
>.
>.
>.
>.
>.
> K = R_9
> K^5 = R_9 �R_9 �R_9 �R_9 �R_9 = T_9, onde T � qq n�mero inteiro.
>
>
> Agora fica a minha d�vida: Se num problema de demostra�ao, caso eu
>consiga expor para o examinador TODOS os casos existentes(desde q seja
>vi�vel, como nesse problema) para tal demostra�ao, eu preciso
>necessariamente utilizar vari�veis literais?
>
> No caso, se eu estivesse fazendo essa prova, eu escreveria de R_0 at�
>R_9, integralmente, ou seja, nao existiria as reticencias q eu coloquei
>entre R_2 e R_9 para poupar um pco + meu tempo......
>
> Obrigado.
>
>
> Falow's
>
> Exercicio~�
>
> http://members.nbci.com/exercicio
>         ICQ # 102856897
>
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