Re: =?x-user-defined?Q?Re:_um_pouco_de_f=EDsica...?=

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, 11 Jan 2001, Bruno Mintz wrote:

> Caro Nicolau,
>  
> no mail anterior estava escrito:
>  
> "(...) A aceleração é a derivada da velocidade então sua equação pode ser reescrita como
> 
> 
> mg - kv = m dv/dt
> o que, com um tremendo abuso pode ser reescrito como
> dt = (m dv)/(mg - kv)"
> 
> 
> Fiquei curioso: por que "um tremendo abuso"? Afinal, a resposta dependeu disso...

Claro que o resultado dependeu disso, e foi por isso que eu avisei que ia
usar matemática além de cálculo/física 1. Ou melhor, usaria matemática
como alguns físicos usam (e são criticados pelos matemáticos por isso).

O que são dv e dt sozinhos? Nada que seja definido em um curso de cálculo 1.
O que é definido é o falso quociente dv/dt, que é uma derivada.
Digo falso quociente pois a derivada não é propriamente um quociente,
é na melhor das hipóteses o *limite* de um quociente.
É verdade, por exemplo, que dz/dy = dz/dy * dy/dx mas isto
não é um fato puramente algebrico (produto de frações)
e sua demonstração rigorosa exige que reconsideremos as definições
de limite e derivada. A explicação de que é verdade pois cortamos
um dy com o outro é extremamente grosseira e não é de forma alguma
uma demonstração, é na melhor das hipóteses uma idéia para guiar a intuição.

Mas voltando ao seu problema, passamos de

mg - kv = m dv/dt                             (equação a)

para 

dt = (m dv)/(mg - kv)                         (equação b)

e depois integramos para obter

\int dt = \int (m dv)/(mg - kv)               (equação c)

onde \int deve ser lido como o sinal de integral:

    /
   /
   |
   |
   /
  /


As equações (a) e (c) fazem sentido, a equação (b) não faz sentido nenhum
(pelo menos não com o que se conhece de matemática no curso de cálculo 1).
Mas queremos deduzir a equação (c) a partir de (a).
E a minha apresentação a rigor não demonstra nada.

As respostas que eu posso dar neste momento não são muito satisfatórias.
Você pode pegar a resposta final e substituir na equação inicial
e verificar que dá certo (mas quem garante que outra função também
não daria certo?). Ou você pode aceitar este método como uma receita
que dá certo e você não sabe bem por que.

[]s, N.