Re: En: prob

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, 13 Feb 2001, josimat wrote:

> Ola amigos!
> Encaminho para discussao a mensagem de meu amigo Demetrius sobre o problema
> de probabilidade que ele proprio havia me passado.
> []s Josimar
> -----Mensagem original-----
> De: Demetrius Souza - EM <demetrius@escolademestres.com>
> Para: josimat <josimat@openlink.com.br>
> Data: Segunda-feira, 12 de Fevereiro de 2001 20:53
> Assunto: Re: prob
> 
> 
> >O fato de não haver uma medida de probabilidade "natural' ou óbvia não
> >implica que o problema não tenha solução e sim que ele não tem uma única
> >solução. Na verdade todos os problemas de probabilidade têm várias soluções
> >se você considerar diversas maneiras de "medir" o espaço amostral, mesmo em
> >casos de conjuntos finitos.

Está certo, mas acho que a formulação é bastante enganadora.
Na maioria dos problemas de probabilidade a medida está implícita
mas perfeitamente bem definida. Neste a medida não pode ser definida
(não pelo menos uma medida no sentido clássico,
comentários mais precisos mais abaixo).

Estamos talvez a um passo de dizer que se o professor pergunta ao aluno
"quanto é 2*2?" e o aluno responde "3", o aluno está *certo*,
ele apenas interpretou a operação de "*" de uma forma diferente
daquela que o professor esperava, mas não menos correta
(talvez o aluno esteja estudando nímeros...).
Ou talvez ele tenha ouvido e interpretado a pergunta em marciano arcaico,
onde ela por acaso queria dizer outra coisa totalmente diversa,
e sua resposta corretíssima (também em marciano arcaico)
apenas por acaso tinha o mesmo som do que uma palavra na língua do professor...

> >Esta limitação parece ter origem no fato da
> >matemática querer prever fisicamente fenômenos ignorando as leis que os
> >regem.

Esta frase eu não entendi.

> >No caso do problema das equações eu gostaria de fazer duas considerações:
> >
> >1) O problema deixa de ter uma infinidade de soluções se você aponta uma
> >maneira de "medir os espaços". Uma maneira óbvia é a seguinte:
> >    Para que a equação x^2+bx+c=0 tenha raízes reais é necessário que
> >b^2>=4c, ou seja, c<=(b^2)/4.
> >    Se encararmos "c" como eixo das ordenadas e "b"como eixo das abscissas,
> >teremos que a região do plano que satisfaz esta inequação é a parte
> > interior
> >da parábola...

Na verdade a parte *exterior*. Tudo o que se segue deve ser invertido.
Este não é entretanto o ponto mais relevante do problema.
Passamos a partir daqui a discutir a probabilidade de que um ponto
em R^2 tomado ao acaso esteja dentro da parábola y = x^2/4,
ou seja, a probabilidade de que y >= x^2/4
(atenção, repito, o problema foi invertido).

> >    Se considerarmos um quadrado centrado na origem de lado 2n paralelo ao
> >eixo horizontal e medirmos a relação entre as áreas, é bastante razoável ou
> >"natural" considerarmos que, considerando os pontos deste quadrado como o
> >espaço amostral, a probabilidade esteja associada à razão entre as áreas
> >dentro e fora da parábola, mas ambas interiores ao quadrado.
> >    Se estendermos o lado deste quadrado de tal maneira que  "n" tenda  a
> >infinito, veremos que a razão referida tende a zero.

Está certo. O que está sendo definido aqui é uma medida de probabilidade
que é apenas finitamente aditiva e não sigma-aditiva.
É fácil ver que por este critério o quadrado unitário teria probabilidade 0.
Mais geralmente, qualquer quadrado teria probabilidade 0.
Entretanto o plano, que tem probabilidade 1,
é uma união de uma família enumerável de quadrados encaixados,
cada um deles com probabilidade 0.

O axioma da sigma-aditividade diz exatamente que este tipo de situação
não pode ocorrer. Seja A_0 contido em A_1 contido em A_2 contido em...
e seja A_infty a união de todos os A_n: a probabilidade (medida)
de A_infty deve ser o limite das probabilidades dos A_n.
Ou melhor, este é o axioma da sigma-aditividade,
normalmente exigido de medidas de probabilidade.
A sua medida de probabilidade é apenas finitamente aditiva;
por outro lado, não é incomum considerar medidas finitamente aditivas.

> >    Ou seja, é como se tivéssemos um alvo quadrado e tivéssemos que acertar
> >um dardo dentro da parábola. Quanto maior o tamanho do alvo, mais difícil
> >acertar o seu interior. De forma que podemos tornar a probabilidade,
> >definida neste sentido, tão pequena quanto quisermos e, deste modo, tem
> >sentido falar em probabilidade zero.
> >    Uma pergunta imediata é por que escolher o quadrado...
> >    A forma, de verdade, não parece ser "naturalmente" importante. O que
> >parece ser "natural" ou "óbvio" é a simetria do R^2. Por isso, se fizermos
> > a
> >conta com qualquer figura que tenha simetria com relação aos eixos a
> >probabilidade certamente dará sempre a mesma coisa.

Isto é verdade se tomarmos sempre figuras semelhantes
(sempre quadrados, sempre bolas redondas).
Considere ao invés desets quadrados encaixados os retângulos
-n < x < n, -n^2 < y < n^2 e a probabilidade será 1/3.
Ou considere os retângulos -n < x < n, -n^4 < y < n^4
e a probabilidade será 1/2. 

Outro exemplo importante é o seguinte.
Seja f: N -> N uma função que cresce muito muito rápido
(você pode tomar por exemplo f(n) = 2^2^2^...^2^0 com n andares,
ou mais formalmente f(0) = 0, f(n+1) = 2^f(n)).
Defina g: [0,infty) -> N por: g(x) é o menor natural n tal que f(n) > x.
Ou seja, f(g(x) - 1) <= x < f(g(x))
(onde definimos f(-1) = -infty para que o lado esquerdo sempre faça sentido).
Seja X o subconjunto de R^2 definido por X = {(x,y) | g(x^2 + y^2) é par}.
Qual a probabilidade de que um ponto esteja em X?
Siga sua definição e ficará claro que quando o quadrado cresce
a probabilidade oscila entre 0 e 1 e parece portanto difícil
escolher um número para ser a probabilidade certa.

Ou voltando à equação do segundo grau podemos reformular o problema assim:
qual a probabilidade de que uma parábola com eixo vertical,
desenhada em posição aleatória no plano, intercepte o eixo horizontal?
Formulada assim, a parábola é naturalmente descrita pela posição
do seu vértice e coeficiente do termo de mais alto grau.
Ora, a parábola interceptará o eixo se e somente se a coordenada y
do vértice tiver sinal oposto ao coeficiente de mais alto grau.
Assim, a probabilidade é obviamente (ahem...) 1/2.

As duas soluções parecem certas, ou talvez eu deva dizer que *estão* certas,
cada uma, para a medida de probabilidade certa
e que não é a mesma em cada caso. Ou seja, não há uma medida
de probabilidade única e implícita, e a pergunta está formulada
de forma a admitir interpretações diferentes e até contraditórias.

Não estou repetindo as considerações quanto a probabilidade 0
não ser o mesmo que impossibilidade simplesmente porque são muito
apropriadas e muito bem ditas, não teria muito a acrescentar.

[]s, N.