Re: En: prob

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, 13 Feb 2001, josimat wrote:

> Ola amigos!
> Encaminho para discussao a mensagem de meu amigo Demetrius sobre o problema
> de probabilidade que ele proprio havia me passado.
> []s Josimar
> -----Mensagem original-----
> De: Demetrius Souza - EM <demetrius@escolademestres.com>
> Para: josimat <josimat@openlink.com.br>
> Data: Segunda-feira, 12 de Fevereiro de 2001 20:53
> Assunto: Re: prob
> 
> 
> >O fato de n�o haver uma medida de probabilidade "natural' ou �bvia n�o
> >implica que o problema n�o tenha solu��o e sim que ele n�o tem uma �nica
> >solu��o. Na verdade todos os problemas de probabilidade t�m v�rias solu��es
> >se voc� considerar diversas maneiras de "medir" o espa�o amostral, mesmo em
> >casos de conjuntos finitos.

Est� certo, mas acho que a formula��o � bastante enganadora.
Na maioria dos problemas de probabilidade a medida est� impl�cita
mas perfeitamente bem definida. Neste a medida n�o pode ser definida
(n�o pelo menos uma medida no sentido cl�ssico,
coment�rios mais precisos mais abaixo).

Estamos talvez a um passo de dizer que se o professor pergunta ao aluno
"quanto � 2*2?" e o aluno responde "3", o aluno est� *certo*,
ele apenas interpretou a opera��o de "*" de uma forma diferente
daquela que o professor esperava, mas n�o menos correta
(talvez o aluno esteja estudando n�meros...).
Ou talvez ele tenha ouvido e interpretado a pergunta em marciano arcaico,
onde ela por acaso queria dizer outra coisa totalmente diversa,
e sua resposta corret�ssima (tamb�m em marciano arcaico)
apenas por acaso tinha o mesmo som do que uma palavra na l�ngua do professor...

> >Esta limita��o parece ter origem no fato da
> >matem�tica querer prever fisicamente fen�menos ignorando as leis que os
> >regem.

Esta frase eu n�o entendi.

> >No caso do problema das equa��es eu gostaria de fazer duas considera��es:
> >
> >1) O problema deixa de ter uma infinidade de solu��es se voc� aponta uma
> >maneira de "medir os espa�os". Uma maneira �bvia � a seguinte:
> >    Para que a equa��o x^2+bx+c=0 tenha ra�zes reais � necess�rio que
> >b^2>=4c, ou seja, c<=(b^2)/4.
> >    Se encararmos "c" como eixo das ordenadas e "b"como eixo das abscissas,
> >teremos que a regi�o do plano que satisfaz esta inequa��o � a parte
> > interior
> >da par�bola...

Na verdade a parte *exterior*. Tudo o que se segue deve ser invertido.
Este n�o � entretanto o ponto mais relevante do problema.
Passamos a partir daqui a discutir a probabilidade de que um ponto
em R^2 tomado ao acaso esteja dentro da par�bola y = x^2/4,
ou seja, a probabilidade de que y >= x^2/4
(aten��o, repito, o problema foi invertido).

> >    Se considerarmos um quadrado centrado na origem de lado 2n paralelo ao
> >eixo horizontal e medirmos a rela��o entre as �reas, � bastante razo�vel ou
> >"natural" considerarmos que, considerando os pontos deste quadrado como o
> >espa�o amostral, a probabilidade esteja associada � raz�o entre as �reas
> >dentro e fora da par�bola, mas ambas interiores ao quadrado.
> >    Se estendermos o lado deste quadrado de tal maneira que  "n" tenda  a
> >infinito, veremos que a raz�o referida tende a zero.

Est� certo. O que est� sendo definido aqui � uma medida de probabilidade
que � apenas finitamente aditiva e n�o sigma-aditiva.
� f�cil ver que por este crit�rio o quadrado unit�rio teria probabilidade 0.
Mais geralmente, qualquer quadrado teria probabilidade 0.
Entretanto o plano, que tem probabilidade 1,
� uma uni�o de uma fam�lia enumer�vel de quadrados encaixados,
cada um deles com probabilidade 0.

O axioma da sigma-aditividade diz exatamente que este tipo de situa��o
n�o pode ocorrer. Seja A_0 contido em A_1 contido em A_2 contido em...
e seja A_infty a uni�o de todos os A_n: a probabilidade (medida)
de A_infty deve ser o limite das probabilidades dos A_n.
Ou melhor, este � o axioma da sigma-aditividade,
normalmente exigido de medidas de probabilidade.
A sua medida de probabilidade � apenas finitamente aditiva;
por outro lado, n�o � incomum considerar medidas finitamente aditivas.

> >    Ou seja, � como se tiv�ssemos um alvo quadrado e tiv�ssemos que acertar
> >um dardo dentro da par�bola. Quanto maior o tamanho do alvo, mais dif�cil
> >acertar o seu interior. De forma que podemos tornar a probabilidade,
> >definida neste sentido, t�o pequena quanto quisermos e, deste modo, tem
> >sentido falar em probabilidade zero.
> >    Uma pergunta imediata � por que escolher o quadrado...
> >    A forma, de verdade, n�o parece ser "naturalmente" importante. O que
> >parece ser "natural" ou "�bvio" � a simetria do R^2. Por isso, se fizermos
> > a
> >conta com qualquer figura que tenha simetria com rela��o aos eixos a
> >probabilidade certamente dar� sempre a mesma coisa.

Isto � verdade se tomarmos sempre figuras semelhantes
(sempre quadrados, sempre bolas redondas).
Considere ao inv�s desets quadrados encaixados os ret�ngulos
-n < x < n, -n^2 < y < n^2 e a probabilidade ser� 1/3.
Ou considere os ret�ngulos -n < x < n, -n^4 < y < n^4
e a probabilidade ser� 1/2. 

Outro exemplo importante � o seguinte.
Seja f: N -> N uma fun��o que cresce muito muito r�pido
(voc� pode tomar por exemplo f(n) = 2^2^2^...^2^0 com n andares,
ou mais formalmente f(0) = 0, f(n+1) = 2^f(n)).
Defina g: [0,infty) -> N por: g(x) � o menor natural n tal que f(n) > x.
Ou seja, f(g(x) - 1) <= x < f(g(x))
(onde definimos f(-1) = -infty para que o lado esquerdo sempre fa�a sentido).
Seja X o subconjunto de R^2 definido por X = {(x,y) | g(x^2 + y^2) � par}.
Qual a probabilidade de que um ponto esteja em X?
Siga sua defini��o e ficar� claro que quando o quadrado cresce
a probabilidade oscila entre 0 e 1 e parece portanto dif�cil
escolher um n�mero para ser a probabilidade certa.

Ou voltando � equa��o do segundo grau podemos reformular o problema assim:
qual a probabilidade de que uma par�bola com eixo vertical,
desenhada em posi��o aleat�ria no plano, intercepte o eixo horizontal?
Formulada assim, a par�bola � naturalmente descrita pela posi��o
do seu v�rtice e coeficiente do termo de mais alto grau.
Ora, a par�bola interceptar� o eixo se e somente se a coordenada y
do v�rtice tiver sinal oposto ao coeficiente de mais alto grau.
Assim, a probabilidade � obviamente (ahem...) 1/2.

As duas solu��es parecem certas, ou talvez eu deva dizer que *est�o* certas,
cada uma, para a medida de probabilidade certa
e que n�o � a mesma em cada caso. Ou seja, n�o h� uma medida
de probabilidade �nica e impl�cita, e a pergunta est� formulada
de forma a admitir interpreta��es diferentes e at� contradit�rias.

N�o estou repetindo as considera��es quanto a probabilidade 0
n�o ser o mesmo que impossibilidade simplesmente porque s�o muito
apropriadas e muito bem ditas, n�o teria muito a acrescentar.

[]s, N.