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Re: Duas Questoes interessantes !
Oi Paulo,
Muito Obrigada !
Sinceramente, estava torcendo pra voce responder ... Eu sabia que se
conseguisse despertar o seu interesse, teria solucoes brilhantes.
Nao entendi legal a funcao CG. Da pra explicar ?
Agradeco tambem aos outros : ralph, josimat.
IB - 16 de jan
>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Duas Questoes interessantes !
>Date: Mon, 15 Jan 2001 13:06:55
>
>Ola Iolanda e Amigos da Lista,
>Saudacoes !
>
>Neunhum dos dois problemas e simples e ambos ja apareceram nesta Lista.
>Para que voce possa ter uma ideia da dificuldade que eles encerram, saiba
>que o primeiro - sobre esferas -, em tempos idos, foi abordado por Newton ,
>que nao o resolveu ; o segundo - sobre campeonatos - apareceu aqui em uma
>versao com oito clubes e nehuma solucao consistente foi apresentada ...
>
>E verdade que se encontrou o numero 16 como "solucao" do segundo problema,
>mas este numero nao foi justificado com rigor, sendo antes "encontrado" em
>virtude das facilidades de visualizacao e diagramacao que os pequenos
>numeros envolvidos ofereciam.
>
>Eu vou apenas direcionar solucoes. Nao percebi nenhuma solucao trivial,
>"simples e rapida", destas em que se escreve um monte formulas e numeros.
>Voce completa os detalhes.
>
>1 Problema ) Um angulo solido pode ser medido em esfero-radianos. Por
>definicao, um esfero-radiano ( srd ) e o angulo solido central de uma
>esfera de raio R que subtende uma area igual a R^2. Isso implica,
>claramente, que uma esfera qualquer tem exatamente "4*pi esfero-radianos"
>
>A ideia e mostrar que a colocacao de 13 esferas implica num angulo solido
>central maior que 4*pi esfero radianos.
>
>Para perceber como e possivel fazer isso, imagine uma esfera fixa de raio R
>e, sobre ela, coloque uma outra esfera de mesmo raio. Se do centro da
>esfera fixa tracarmos tangentes a "esfera de cima" surgira um cone. Este
>cone intercepta a esfera fixa segundo uma calota. Qual a area desta calota
>? A area de uma calota e 2*pi*R*h, onde "R" e o raio da esfera e "h" a
>altura da calota.
>
>Se voce tracar um plano que contenha os centros das esferas vai perceber
>imediatamente um angulo de 30 graus e calcular com facilidade a area da
>calota. Dividindo a area encontrada pelo quadrado do raio, encontrara o
>valor do angulo solido do cone em esfero radianos.
>
>Perceba agora que tres esferas posicionadas sobre a esfera fixa, estando o
>mais proximo possivel duas a duas, implicam em tres calotas ( ja explicadas
>) e uma regiao central "desperdicada". Calcule - facilmente com integral
>dupla em coordenadas esfericas - o valor desta area desperdicada. Calcule o
>angulo solido que lhe corresponde ( dividindo por R^2 ).
>
>Suponha as treze esferas posicionadas e mostre que isto implica num angulo
>solido central maior que 4*pi esfero radianos. Um absurdo !
>
>2 Problema ) Vamos representar uma vitoria por V, um empate por E e uma
>derrota por D. Num campeonato com N clubes, apos cada rodada, atribuimos a
>cada clube uma letra de acordo com o desempenho que o clube teve.
>
>Isto significa, claramente, que ao fim do campeonato estara associado a
>cada clube uma lista, o "Historico" do clube. E este conceito que faltava
>para dar rigor as tentativas anteriores.
>
>Para esta investigacao particuloar, eu vou considerar iguais a dois
>historicos que se diferenciam tao somente pela ordem das letras.
>
>Imagine um clube com o Historico : VVVVVVE. Ele conseguiu 3*6 + 1 = 19
>pontos. Qual a colocacao que ele garante ? A segunda ! O clube que empatou
>com ele na ultima rodada tambem pode ter ganho todos os jogos anteriores e
>algum criterio de desempate coloca-lo como segundo lugar !
>
>Conclucao : a melhor colocacao garantida por um historico e determinada por
>1 mais a quantidade maxima de outros historicos que podemos construir
>compativeis entre si e com o historico dado e que tenham uma pontuacao
>igual ou maior que o historicos dado.
>
>Traduzindo: Seja dado um historico
>
>1) Determine a quantidade de historicos que tem uma pontuacao igual ou
>maior que a do historico dado
>2) Os historicos obtidos em 1) devem ser compativeis entre si e com o
>historico dado
>
>A melhor colocacao garantida pelo historico dado e uma unidade superior ao
>numero obtido com os passos 1) e 2). Isso e um problema combinatorio que
>voce pode generalizar.
>
>Para um determinado historico H, chamarei de CG(H) ( Colocacao Garantida
>pelo historico H ) o numero que descrevemos.
>
>Para uma determinada pontuacao, quantos historicos distintos existem ? Isso
>e trivial. Seja N-1 o numero de jogos e P a pontucao. Entao :
>
>3*V + E = P
>V + E + D = N-1
>
>Com V, E e D sao inteiros nao negativos.
>
>Com este sistema e as demais informacoes voce obtera todos os dados
>significativos sobre o problema.
>
>Exemplo :
>
>Num campeonato com 8 jogos ( 9 clubes ), 0 historico :
>
>(VEEEEEEE) corresponde a 10 pontos. mas os historicos abiaxo tambem
>correspondem a 10 pontos :
>
>(VVEEEEDD) , (VVVEDDDD)
>
>Assim existem 3 historicos relativos a 10 pontos ( a menos da ordem das
>letras, que nao estou considerando e que nao tem importancia para os
>efeitos desta investigacao )
>Sejam H1, H2, H3 estes historicos. Entao :
>
>Maximo { CG(H1), CG(H2), CG(H3) }
>
>E A COLOCAO GARANTIDA PARA QUEM FIZER 10 PONTOS.
>
>Um raciocinio semelhante vale para qualquer quantidade de jogos. As
>generalizacoes e formulas derivaveis sao simples e evidentes e deixo pra
>voce concluir.
>
>NOTA1 : A funcao CG(H) implica em questoes combinatorias muito belas ...
>Comece considerando historicos que tem somente empates e vitorias. Se E e o
>total de empates o numero de historicos iguais e "E+1". Para clubes que so
>tem vitorias e derrotas, o numero de historicos iguais e "2*V+1" ( se V < D
>) ou 2*D + 1 ( se D < V ). Em qualquer outro caso use uma combinacao destes
>casos.
>
>NOTA2 : Existe um numero de pontos abaixo do qual qualquer historico com
>esta pontuacao tem uma funcao CG(H) maior que a quantidade de clubes e que
>portanto nao garante colocacao alguma.
>
>NOTA3 : O problema merece atencao. Uma solucao sistematica evitaria que
>determinadas pessoas defendessem "belissimas teses" de Mestrado e que
>Grandes Matematicos da Midia fizessem previsoes maravilhosas na impremsa,
>entre outras coisas...
>
>Finalmente, um Ola especial para Alex ( de Saudacoes Tricolores ). O tema e
>campeonatos. Papai, que e torcedor fanatico do Fluminense, manda-lhe um
>efusivo abraco e me disse que o fato de voce ser tricolor e uma indicativo
>segura de que voce e dotado de bom gosto e inteligencia superior !
>
>Um abraco a Todos
>Paulo Santa Rita
>2,1100,15012001
>
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>
>>From: "Iolanda Brazăo" <iolanda_marta@hotmail.com>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Duas Questoes interessantes !
>>Date: Fri, 12 Jan 2001 19:22:43
>>
>>Ola Colegas;
>>
>>Duas questoes interessantes e que nao consigo resolver podem ser
>>enunciadas
>>como segue :
>>
>>1) Prove que tangenciando externamente uma esfera fixa, de raio R, so e
>>possivel colocarmos 12 outras esferas de mesmo raio.
>>
>>2)Num campeonato com 36 clubes, cada time joga uma unica vez com todos os
>>demais. A Vitoria vale 3 pontos, o empate um ponto e a derrota nao confere
>>pontos. Qual a quantidade minima de pontos que um clube precisara fazer
>>para
>>ter certeza que ficara entre os 12 primeiros ?
>>
>>Alguem pode me indicar como resolve-los ?
>>
>>Saudacoes.
>>IB - 12 de janeiro de 2001
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