Re: Duas Questoes interessantes !

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Iolanda e Amigos da Lista,
Saudacoes !

Neunhum dos dois problemas e simples e ambos ja apareceram nesta Lista. Para 
que voce possa ter uma ideia da dificuldade que eles encerram, saiba que o 
primeiro - sobre esferas -, em tempos idos, foi abordado por Newton , que 
nao o resolveu ; o segundo - sobre campeonatos - apareceu aqui em uma versao 
com oito clubes e nehuma solucao consistente foi apresentada ...

E verdade que se encontrou o numero 16 como "solucao" do segundo problema, 
mas este numero nao foi justificado com rigor, sendo antes "encontrado" em 
virtude das facilidades de visualizacao e diagramacao que os pequenos 
numeros envolvidos ofereciam.

Eu vou apenas direcionar solucoes. Nao percebi nenhuma solucao trivial, 
"simples e rapida", destas em que se escreve um monte formulas e numeros. 
Voce completa os detalhes.

1 Problema )  Um angulo solido pode ser medido em esfero-radianos. Por 
definicao, um esfero-radiano ( srd ) e o angulo solido central de uma esfera 
de raio R que subtende uma area igual a R^2. Isso implica, claramente, que 
uma esfera qualquer tem exatamente "4*pi  esfero-radianos"

A ideia e mostrar que a colocacao de 13 esferas implica num angulo solido 
central maior que 4*pi esfero radianos.

Para perceber como e possivel fazer isso, imagine uma esfera fixa de raio R 
e, sobre ela, coloque uma outra esfera de mesmo raio. Se do centro da esfera 
fixa tracarmos tangentes a "esfera de cima" surgira um cone. Este cone 
intercepta a esfera fixa segundo uma calota. Qual a area desta calota ? A 
area de uma calota e 2*pi*R*h, onde "R" e o raio da esfera e "h" a altura da 
calota.

Se voce tracar um plano que contenha os centros das esferas vai perceber 
imediatamente um angulo de 30 graus e calcular com facilidade a area da 
calota. Dividindo a area encontrada pelo quadrado do raio, encontrara o 
valor do angulo solido do cone em esfero radianos.

Perceba agora que tres esferas posicionadas sobre a esfera fixa, estando o 
mais proximo possivel duas a duas, implicam em tres calotas ( ja explicadas 
) e uma regiao central "desperdicada". Calcule - facilmente com integral 
dupla em coordenadas esfericas - o valor desta area desperdicada. Calcule o 
angulo solido que lhe corresponde ( dividindo por R^2 ).

Suponha as treze esferas posicionadas e mostre que isto implica num angulo 
solido central maior que 4*pi esfero radianos. Um absurdo !

2 Problema )  Vamos representar uma vitoria por V, um empate por E e uma 
derrota por D.  Num campeonato com N clubes, apos cada rodada, atribuimos a 
cada clube uma letra de acordo com o desempenho que o clube teve.

Isto significa, claramente, que ao fim do campeonato estara associado a cada 
clube uma lista, o "Historico" do clube. E este conceito que faltava para 
dar rigor as tentativas anteriores.

Para esta investigacao particuloar, eu vou considerar iguais a dois 
historicos que se diferenciam tao somente pela ordem das letras.

Imagine um clube com o Historico : VVVVVVE. Ele conseguiu 3*6 + 1 = 19 
pontos. Qual a colocacao que ele garante ? A segunda ! O clube que empatou 
com ele na ultima rodada tambem pode ter ganho todos os jogos anteriores e 
algum criterio de desempate coloca-lo como segundo lugar !

Conclucao : a melhor colocacao garantida por um historico e determinada por 
1 mais a quantidade maxima de outros historicos que podemos construir 
compativeis entre si e com o historico dado e que tenham uma pontuacao igual 
ou maior que o historicos dado.

Traduzindo: Seja dado um historico

1) Determine a quantidade de historicos que tem uma pontuacao igual ou maior 
que a do historico dado
2) Os historicos obtidos em 1) devem ser compativeis entre si e com o 
historico dado

A melhor colocacao garantida  pelo historico dado e uma unidade superior ao 
numero obtido com os passos 1) e 2). Isso e um problema combinatorio que 
voce pode generalizar.

Para um determinado historico H, chamarei de CG(H) ( Colocacao Garantida 
pelo historico H ) o numero que descrevemos.

Para uma determinada pontuacao, quantos historicos distintos existem ? Isso 
e trivial. Seja N-1 o numero de jogos e P a pontucao. Entao :

3*V + E = P
V + E + D = N-1

Com V, E e D sao inteiros nao negativos.

Com este sistema e as demais informacoes voce obtera todos os dados 
significativos sobre o problema.

Exemplo :

Num campeonato com 8 jogos ( 9 clubes ), 0 historico :

(VEEEEEEE) corresponde a 10 pontos. mas os historicos abiaxo tambem 
correspondem a 10 pontos :

(VVEEEEDD) , (VVVEDDDD)

Assim existem 3 historicos relativos a 10 pontos ( a menos da ordem das 
letras, que nao estou considerando e que nao tem importancia para os efeitos 
desta investigacao )
Sejam H1, H2, H3 estes historicos. Entao :

Maximo { CG(H1), CG(H2), CG(H3) }

E A COLOCAO GARANTIDA PARA QUEM FIZER 10 PONTOS.

Um raciocinio semelhante vale para qualquer quantidade de jogos. As 
generalizacoes e formulas derivaveis sao simples e evidentes e deixo pra 
voce concluir.

NOTA1 :  A funcao CG(H) implica em questoes combinatorias muito belas ... 
Comece considerando historicos que tem somente empates e vitorias. Se E e o 
total de empates o numero de historicos iguais e "E+1". Para clubes que so 
tem vitorias e derrotas, o numero de historicos iguais e "2*V+1" ( se V < D 
) ou 2*D + 1 ( se D < V ). Em qualquer outro caso use uma combinacao destes 
casos.

NOTA2 : Existe um numero de pontos abaixo do qual qualquer historico com 
esta pontuacao tem uma funcao CG(H) maior que a quantidade de clubes e que 
portanto nao garante colocacao alguma.

NOTA3 :  O problema merece atencao. Uma solucao sistematica evitaria que 
determinadas pessoas defendessem "belissimas teses" de Mestrado e que 
Grandes Matematicos da Midia fizessem previsoes maravilhosas na impremsa, 
entre outras coisas...

Finalmente, um Ola especial para Alex ( de Saudacoes Tricolores ). O tema e 
campeonatos. Papai, que e torcedor fanatico do Fluminense, manda-lhe um 
efusivo abraco e me disse que o fato de voce ser tricolor e uma indicativo 
segura de que voce e dotado de bom gosto e inteligencia superior !

Um abraco a Todos
Paulo Santa Rita
2,1100,15012001
















>From: "Iolanda Brazão" <iolanda_marta@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Duas Questoes interessantes !
>Date: Fri, 12 Jan 2001 19:22:43
>
>Ola Colegas;
>
>Duas questoes interessantes e que  nao consigo resolver podem ser 
>enunciadas
>como segue :
>
>1) Prove que tangenciando externamente uma esfera fixa, de raio R, so e
>possivel colocarmos 12 outras esferas de mesmo raio.
>
>2)Num campeonato com 36 clubes, cada time joga uma unica vez com todos os
>demais. A Vitoria vale 3 pontos, o empate um ponto e a derrota nao confere
>pontos. Qual a quantidade minima de pontos que um clube precisara fazer 
>para
>ter certeza que ficara entre os 12 primeiros ?
>
>Alguem pode me indicar como resolve-los ?
>
>Saudacoes.
>IB - 12 de janeiro de 2001
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