Re: Fibonacci mais Pascal

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, 25 Nov 2000, Luis Lopes wrote:

> Sauda,c~oes,
> 
> Vamos chamar a primeira linha de linha 0, a segunda de linha 1 etc. Assim,
> temos:
> 
> A diagonal 0 tem apenas o 1. Soma = 1=F_1 (definimos F_0=0) A diagonal 1 tem
> apenas o 1. Soma = 1=F_2 A diagonal 2 tem dois 1`s. Soma = 2=F_3 A diagonal 3
> tem um 2 e um 1. Soma =3=F_4 A diagonal 4 tem dois 1`s e um 3. Soma = 5=F_5
> 
> Voc^e ent~ao quer mostrar que a soma S_n de binom(n-i , i) = F_{n+1}  para i
> = 0,1,...n , onde n é a diagonal de n'umero n.
> 
> Agora prove por indu,c~ao.
> 
> H'a outra maneira de provar isso sem usar indu,c~ao. Chame de S_n(x) a soma
> binom(n-i , i) x^i. A soma em quest~ao 'e obtida fazendo x=1.
> 
> Mostre que S_n(x) satisfaz a recorr^encia (vamos escrever S_n(x)=S_n na
> recorr^encia) S_{n+1}  - S_n - xS_{n-1} = 0 . Resolva a recorr^encia e
> conclua um mont~ao de coisas.

Este polinômios são velhos amigos meus. Eu geralmente prefiro escrever

P_{n+1}(x) = sum_i binom(n-i,i) x^{n - 2i}

Assim,

P_0(x) = 0
P_1(x) = 1 
P_2(x) = x
P_3(x) = x^2 + 1
P_4(x) = x^3 + 2x
P_5(x) = x^4 + 3x^2 + 1
P_6(x) = x^5 + 4x^3 + 3x
P_7(x) = x^6 + 5x^4 + 6x^2 + 1
...

É interessante procurar as raízes destes polinômios.

Depois escrevo mais sobre o assunto. []s, N.