Numero de solucoes

["Douglas Coimbra de Andrade" <douglasca@xxxxxxxxxx>]

Desejo averiguar o numero de solucoes inteiras positivas da equacao

t(1)+t(2)+...+t(k)=n, com k e n naturais e tais que t(x)>=t(x+1), ou seja,
t(1)>=t(2)>=...>=t(k).

Vou efetuar as seguintes transformacoes: (considere m(x) um natural)
t(k)=m(1)
t(k-1)=m(1)+m(2)
...
t(2)=m(1)+m(2)+...+m(k-2)+m(k-1)
t(1)=m(1)+m(2)+...+m(k-1)+m(k)

Como m(x) é natural, a transformacao acima garante que t(x)>=t(x+1) para
0<x<k

Assim, o numero de solucoes da equacao
m(k)+2m(k-1)+3m(k-2)+...+km(1)=n

e igual ao numero de solucoes da equacao inicial. Note-se tambem que a
demonstracao fornece um metodo algoritmico para resolver equacoes nas
condicoes propostas inicialmente.

Exemplo:

Resolver a equacao a+b+c=5, com a>=b>=c

Efetuemos as transformacoes:

a=x+y+z
b=y+z
c=z

Temos o novo sistema:

x+2y+3z=5

Para z=0:

x+2y=5; solucoes (x,y)={(5,0),(3,1),(1,2)}

Para z=1

x+2y=2; solucoes (x,y)={(2,0),(0,1)}

Entao as triplas que satisfazem x+2y+3z=5 sao
(x,y,z)={(5,0,0),(3,1,0),(1,2,0),(2,0,1),(0,1,1)}
que correspondem as triplas
(a,b,c)={(5,0,0),(4,1,0),(3,2,0),(3,1,1),(2,1,1)}

Aguardo uma resposta para a questao de saber o numero de solucoes daquela
equacao proposta la no inicio

Valeu!

Douglas