Re: desigualdade

["Jorge Peixoto Morais" <jorge_peixotom@xxxxxxxxxxx>]

                      Original Message
Olá pessoal!
Alguém poderia resolver a seguinte desigualdade pra mim
(1 + 1/x)(1 + 1/y)(1 + 1/z) >= 64
sendo x + y + z = 1, e x, y e z reais positivos.
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(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)= (x+1)(y+1)(z+1)/(xyz) = (xyz +xy + xz +yz +x +y +z
+1)/(xyz)
Como x+y+z=1, a expressao acima eh igual a (xyz +2 +xy+xz+yz)/(xyz), que eh
igual a 1 +2/(xyz) +1/y +1/z +1/x
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Como a media aritmetica de quaisquer n numeros eh maior ou igual aa
harmonica (e soh eh igual se todos os numeros forem iguais), temos que
(x+y+z)/3 >= 3/(1/z +1/x +1/y). Lembre-se de que x+y+z=1. Entao temos que
1/z +1/y +1/x >= 9
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Entao (1 +1/x)(1+1/y)(1+1/z)>=10 +2/xyz (o que jah eh um enorme progresso).
Se provarmos que 10 +2/xyz eh, no minimo, 64, ficaremos felizes. Entao vamos
lah:
10+ 2/xyz eh minimo quando xyz eh maximo. Basta calcular qual eh o maior
valor que pode ter o produto de tres numeros positivos que somam 1. Chame
y+z de k. Sabemos que o produto yz eh maximo se y=z=k/2; ou seja, o produto
maximo eh (k^2)/4. Como x=1-k, xyz eh (k^2/4)(1-k)=k^2/4-(k^3)/4. Espero que
voce conheca Calculo Integral e Diferencial (eh uma das maiores conquistas
intelectuais da humanidade). Vendo que o produto maximo nao ocorre no
extremo do intervalo onde k pode estar (o intervalo aberto de 0 a 1), e que
a funcao eh continua, vemos que o maximo ocorre onde a derivada for zero (se
houver esse ponto). Bom, a derivada eh k/2 - 3(k^2)/4. Isso eh zero se k=0
ou se k=2/3. Se k=2/3, lembrando que z=y=k/2, temos x=y=z=1/3. Para esses
valores, a expressao acima eh 10 +2(27)=64; portanto, podemos ficar felizes.











PS: Leia a Eureka número 5, artigo "Desigualdades Elementares", e entenderah
tudo o que eu fiz.
PS_2: Se tiver alguma duvida, me mande um e-mail.