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Caro Jorge.
Todos esses problemas que voce cita sao muito interessantes.
Mas gostaria de ressaltar certos pontos.
Se voce estah falando em achar aproximacoes do limite, tao
boas quanto se quiser, o problema das series eh tao tranquilo quanto o das
integrais. Eu diria ateh que o segundo passa pelo primeiro, ja que voce vai
aproximar as integrais por somas.
Se a questao eh achar uma "formula fechada" (como esta linda
do pi^2 / 6 para a soma dos inversos dos naturais), a questao tambem nao eh tao
tranquila para as integrais. Pense em integral de 0 a 1 de exp(-x^2), por
exemplo. Cuidado para nao nos iludirmos com os exemplos dos livros de Calculo,
feitos sob medida para aplicacao do Teorema Fundamental do Calculo ou dos
metodos classicos de Integracao.
Finalmente, quando nos referirmos a serie 1-1/3+1/5-...,
devemos tomar cuidado para nao mencionar a "soma dos positivos mais a dos
negativos", pois essas somas separadamente divergem. Para essas series cuja
serie dos valores absolutos diverge, nao podemos associar´parcelas nem trocar a
ordem.
JP
-----Mensagem original-----
De: Jorge Peixoto Morais <jorge_peixotom@hotmail.com> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br> Data: Sexta-feira, 10 de Novembro de 2000 17:27 Assunto: Series Eu também gostaria de saber mais sobre essas series
com números naturais. Em geral, é tranquilo resolver limites de somas em números
reais: basta tentar entender como uma integral. Mas e quando os números são
restritos aos naturais, ou aos primos? Por exemplo, por que
a soma dos inversos dos quadrados dos naturais
eh um sexto do quadrado de pi e a soma dos inversos dos números impares
cogruntes a 1 modulo quatro, menos a soma dos inversos dos numeros impares
congruentes a 3 modulo quatro eh um quarto de pi (quis dizer NATURAIS
impares)?
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