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Encontrei uma resposta genérica pra esse problema (q aliás foi
proposto há muito tempo na lista) mas vou enunciar o caso particular abordado.
A resposta genérica é de fácil deduçao.
Utilizarei a#n como notaçao para a índice n, uma vez que *
representará multiplicacoes.
a#n = 6^n + 8^n
a#93/a#49 = (6^93 + 4^93)/(6^49 + 4^49) =
= [2^93 (3^93 + 4^93)] / [2^49 (3^49 + 4^49)] =
= 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 +
4^49)]
(1)
Seja a#93/a#49 = a#49 * k + R, onde k é natural e R é o resto
procurado.
Assim 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] = 2^49 * (3^49 + 4^49)k +
R (2)
Seja 3^49 + 4^49 = a e
3^93 + 4^93 = b.
Dessa forma, R = 2^44 * (b/a) - 2^49 * a * k
Ou, R = 2^44 * [ (b/a) - 32ak ] --> R = 2^44 * [ (b - 32k * a^2) /
a]
Ora, a é um natural ímpar. Portanto, a nao divide
2^44.
Portnato, para que R seja natural,
o natural a necessariamente divide (b - 32k * a^2).
Como b é ímpar e (32k * a^2) é par, (b - 32k * a^2) é ímpar.
Numa divisao exata, se dividendo e divisor sao ambos ímpares, entao o
quociente também será ímpar.
Assim sendo, deve haver um natural ímpar p, tal que R = 2^44 * p
Substituindo R por 2^44 * p em (2), temos:
2^44 * (b/a) = 2^49 * ak + 2^44 * p
Daí, 2^44 * [ (b/a) - p ] = 2^49 * ak
Ou, [ 2^44 * (b - ap) ] / a = 2^49 * ak
Como 2^29 * ak é um inteiro postivo, a deve dividir [ 2^44 * (b -
ap) ].
2^44 nao é divisível por a, uma vez que a é um natural ímpar.
Daí, conclui-se que a deve dividir (b - ap).
Para isso, é necessario e suficiente que a divida
b. (CONCLUSAO 1)
Mas, de (1), a#93/a#49 = 2^44 * [ (3^93 +
4^93) / (3^49 + 4^49) ] =
= 2^44 * (b/a)
Como b é divisível por a (conclusao 1), entao [ 2^44 * (b/a)] é um inteiro
positivo, o que nos mostra que a#93 é divisível por a#49.
Assim sendo, o resto de a#93 / a#49 é ZERO.
Resposta: ZERO.
Espero ter ajudado, apesar da demora.
Saudaçoes Tricolores, Alexandre Terezan.
----- Original Message -----
From: "Eduardo Quintas da Silva" <edquintas@ig.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sexta-feira, 4 de Agosto de 2000 22:21
Subject: Problema Entende-se por a*n : a índice n. |