Problema 5 da IMO

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

     Ai vai uma solucao do prob. 5 da IMO:







Solucao vem ai









Cuidado para nao ler a solucao sem querer












Solucao se aproximando













Solucao vem ai,o bicho vai pegar












Pessoas sensiveis ou com problemas cardiacos que nao quiserem ver a solucao
parem de ler agora...















Parabens,voce esta chegando na solucao...
















>    Solucao para o problema 5:
>    Considere N=2^3^2000+1.Temos N=(2^3^1999+1)(2^(2.3^1999)-2^3^1999+1)=
>=(2^3^1998+1)(2^(2.3^1998)-2^3^1998+1)(2^(2.3^1999)-2^3^1999+1)=...=
>(2^3+1) vezes o produto de j=1 ate' 1999 de (2^(2.3^j)-2^3^j+1).
>Acontece que os 2000 termos na fatoracao acima sao primos entre si,pois para
>todo m natural,m^2-m+1=3(mod m+1),logo mdc(m^2+m+1,m+1)|3,e portanto,se 
>1<=r<j,mdc(2^(2.3^j)-2^3^j+1,2^(2.3^r)-2^3^r+1)|3 (pois 2^(2.3^r)-2^3^r+1
>divide 2^3^j+1).Assim,podemos tomar o nosso numero igual a 
>3^2000.p_1.p_2. ... .p_1999,onde p_j e' um fator primo qualquer diferente de 
>3 de 2^(2.3^j)-2^3^j+1 (os p_j sao todos distintos e distintos de 3,pelo que
>discutimos acima,e 2^3^n+1 e' divisivel por 3^(n+1),como pode ser facilmente
>provado por inducao (em particular,de mdc(2^(2.3^j)-2^3^j+1,3^2^j+1)|3 segue
>que 2^(2.3^j)-2^3^j+1 nao e' uma potencia de 3 para j>=1).
> 
>