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Re: Numero Transcendente
Oi,Pessoal,
Infelizmente o enunciado do Paulo nao esta' correto.E' preciso supor
que B tambem e' algebrico,senao 2 elevado a log_2(3) =3 seria um
contra-exemplo,bem como (Rz_2(2)) elevado a log_2(9) =3,onde log_2(3)
e log_2(9) denotam os logaritmos de 3 e de 9 na base 2 e sao numeros
irracionais(e transcendentes).Nao sei provar que a sequencia de numeros que
o Paulo criou contem apenas transcendentes,mas e' muito provavel que seja
verdade...
Abracos,
Gugu
>
>Ola Iolanda,
>
>Prazer em conhece-la ! Voce deve ser nova na Lista, nao ? Se
>for, seja Bem-Vinda ! Pergunto isso porque nao me lembro de
>nenhuma mensagem sua anterior.
>
>Eu nao estou podendo - por circuntancias alheias a minha
>vontade - participar da lista como gostaria, de forma que
>nao conheco a discussao a qual voce se refere ...
>Independente disso posso lhe garantir que a sua observacao e
>pertinente, isto e :
>
>Rz_2(2)^Rz_2(2) E IRRACIONAL. [ Rz_2(2)=raiz quadrada de 2
>]
>
>A maneira mais simples de se ver isso ( pelo que sei ) e
>conforme voce assinala, vale dizer, invocando o Teorema de
>Gelfond.
>
>Teorema de Gelfond : "A^B" e trancedente se
>
>1) A e algebrico, diferente de zero e um
>2) B e irracional
>
>No seu caso, A=B=Rz_2(2) satisfazem as condicoes do Teorema
>de Gelfond e, portanto, A^B e transcendente e, portanto,
>irracional.
>
>Voce deve ter percebido que se definirmos:
>
>T(1)=Rz_2(2)
>T(N+1)= Rz_2(2)^T(N), N > 0
>
>entao T(N) e transcendente - e portanto irracional - para
>todo N, N > 1. Se nao percebeu, note que:
>
>T(3)=Rz_2(2)^T(2). Fazendo A=Rz_2(2) e B=T(2) recaimos no
>Teorema de Gelfond e concluimos que T(3) e transcendente e,
>portanto, irracional. Reiterando este raciocinio para
>N=4,5,... voce percebera o que falei.
>
>Duas outras observacoes simples que voce pode fazer sao:
>
>1) T(N+1) > T(N), para qualquer N
>2) T(N) < 2, para qualquer N
>
>Estes duas observacoes nos mostram que a sequencia definida
>acima e formada so por numeros transcendentes [ a excecao de
>T(1)=Rz_2(2) ], estritamente crescente e limitada
>superiormente, logo ... E CONVERGENTE ! No meio de tantos
>2´s, voce saberia me provar para onde ela converge ?
>
>Bom, finalizando, devo dizer que eu conheco muito pouco
>sobre numeros trancendentes. Alem do Teorema acima ( de
>Gelfond ), conheco os Teoremas de Liouville, de Hermite e de
>Borel ( Voce conhece estes Teoremas ? ) e as implicacoes
>elementares que se faz com as equacoes de Euler, com as
>series de potencias e os fatos sobre "pi" e "e".
>
>Voce me tratou com uma cerimonia tal que me imaginei como um
>vetusto e inacessivel Catedratico ... sou simplesmente um
>estudante universitario, com um "montao" de duvidas e ideias
>na cabeca.
>
>Um abraco
>Paulo Santa Rita
>6,0952,30062000
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>On Thu, 29 Jun 2000 12:35:03 PDT
>"=?iso-8859-1?B?SW9sYW5kYSBCcmF6428=?="
><iolanda_marta@hotmail.com> wrote:
>>Oi Pessoal,
>>
>>Engracado. Outro dia vi uma longa discusao na qual nao se
>>chegou a resultado
>>algum e que nao entendi. Parece que alguem perguntou como
>>provar que
>>(raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e irracional. [ estou usando
>>raiz_2(N) = raiz
>>quadrada de N ].
>>
>>Nao existe o Teorema de Gelfond ? Nao e verdade que ele
>>diz que em A^B se:
>>
>>1) A e algebrico nao nulo e diferente de 1
>>2) B e irracional
>>
>>entao: A^B e trancendente ?
>>
>>Nao e isso que diz o teorema de Gelfond ? Se for verdade
>>entao em
>>(raiz_2(2))^(raiz_2(2)) temos que A=B=raiz_2(2). E
>>portanto satisfazem as
>>condicoes do Teorema de Gelfond. E portando
>>
>>(raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e transcendente. Logo, irracional.
>>
>>Eu acompanho as respostas que o Sr da, muito boas. O sr
>>pode dizer se estou
>>certa ? Pode outro prof fa lista dizer se estou certa !!!
>>
>>Iolanda
>>
>>>From: "Paulo Santa Rita" <psr@zipmail.com>
>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>Subject: Re: Problema de Geometria
>>>Date: Wed, 05 Apr 2000 08:32:59 -0400
>>>
>>>Ola Pessoal,
>>>Saudacoes a Todos !
>>>
>>>A desigualdade em foco decorre diretamente da
>>DESIGUALDADE
>>>TRIANGULAR, vale dizer, promana do fato de que EM
>>QUALQUER
>>>TRIANGULO QUALQUER LADO E MENOR QUE A SOMA DOS OUTROS
>>DOIS.
>>>Para ver isso, sejam "a", "b" e "c" os lados de um
>>trangulo
>>>qualquer. Entao:
>>>
>>>a < b+c => a + (b+c) < b+c + (b+c) => a+b+c < 2*(b+c)
>>>1/(a+b+c) > 1/(2*(b+c)) => a/(a+b+c) > a/(2*(b+c))
>>>
>>>Usando um raciocinio identido, porem partindo de :
>>>
>>>b < a+c, chegaremos a ... b/(a+b+c) > b/(2*(a+c))
>>>
>>>c < a+b, chegaremos a ... c/(a+b+c) > c/(2*(a+b))
>>>
>>>Somando estas tres desigualdades, ficara :
>>>
>>>1 > (1/2)*( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) )
>>>
>>>ou : a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) < 2
>>>
>>>Tal "Como Queriamos Demonstrar". A expressao
>>>
>>>a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)
>>>
>>>Nao possui somente o limitante superior, tal como
>>acabamos
>>>de mostrar. Ela tambem admite um limitante inferior,
>>>decorrencia do fato de que as medidas dos lados de um
>>>triangulos poderem ser interpretadas como numeros reais
>>>positivos. Afirmamos que :
>>>
>>>a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2
>>>
>>>Quaisquer que sejam "a", "b" e "c" reais positivos.
>>Assim,
>>>temos :
>>>
>>>3/2 =< a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) < 2
>>>
>>>A desigualdade esquerda, aqui tao somente postulada, e de
>>>demonstracao tao simples quando a da direita. Fica como
>>>Exercicio.
>>>
>>>a todos,
>>>Os Melhores Votos
>>>de Paz Profunda !
>>>
>>>Paulo Santa Rita
>>>4,0927,05042000
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>On Tue, 28 Mar 2000 06:31:02 +0200
>>>"Marcio" <mcohen@iis.com.br> wrote:
>>> > Como resolver?
>>> >
>>> > Sejam a,b,c lados de um triangulo.
>>> >
>>> > Prove que [a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)
>>] <
>>> >2
>>> >
>>> > Abraços,
>>> > Marcio
>>> >
>>>
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