Cura do Happy 99

["Edmilson" <edmilson@xxxxxxxxxxxxxx>]

Caros amigos da lista,

    Parece que o nosso colega Marcio está com o vírus Happy 99 em sua
máquina.
Eu tive este tipo de problema algum tempo atrás e consegui resolver
facilmente, com as instruções e um programinha que remove o happy 99 da sua
máquina.

As instruções sobre este vírus e programa que o remove, estão na página
http://www.node1.com.br/servicos/dicas/happy99.asp

 Este vírus cria o arquivo  LISTE.SKA na pasta Windows com uma relação de
e-mails para os quais já foi enviado o HAPPY99.EXE, evitando que a mesma
pessoa receba duas vezes o vírus. Assim, você pode mandar uma cópia deste
e-mail a todos os quais você pode ter contaminado.

Atenciosamente,
Edmilson
http://www.edmilsonaleixo.cjb.net
edmilson@abeunet.com.br
-----Mensagem Original-----
De: "Marcio" <mcohen@iis.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Domingo, 11 de Junho de 2000 23:55
Assunto: RES: Alguns probleminhas interessantes


>
>
>    1) Seja B um inteiro maior que 10 tal que cada um dos seus dígitos
> pertence ao conjunto {1,3,7,9}. Demonstre que B tem um fator primo maior
ou
> igual a 11.
>
> Suponha B=2^a * 3^b * 5^c * 7^d. Mas como B nao termina em algarismo par,
> ele com certeza é impar, e portanto a=0. Com o mesmo raciocinio, já que B
> nao termina em 5 nem em zero, B nao é multiplo de 5 e portanto c=0.
>
> Logo B = 3^b * 7^d. Além disso, B > 10.
>
> Olhe para a sequencia 7^2=49, 7^3=343, 7^4=2401, 7^5=16807..
> Analisando congruencia modulo 100 a sequencia vira:
> 49,43,01,07,49,...(sequencia 1)
> Essa sequência é periódica e portanto todo número da forma 7^d, d>1 tem um
> dígito fora do conjunto dado.
> Analisando agora a sequencia das potencias de 3 maiores que 9 módulo 100
> temos :
> 27, 81, 43, 29, 87, 61, 83, 49, 47, 41, 23, 69, 07, 21, 63, 89, 67, 01,
03,
> 09, ... (sequencia 2)
>
> Isso permite concluir o problema, inclusive afirmando mais. De fato, todo
> numero maior que 10 cujos dois ultimos algarismos pertencam a (1,3,7,9)
deve
> ter um fator primo maior ou igual a 11.
>
> Prova: Um número da forma 3^b * 7^d é o produto de um número da primeira
> sequencia por um número da segunda. Mas todos os numeros da primeira
> sequencia tambem aparecem na segunda. Ou seja, qualquer que seja d > 1,
> existe k tal que 3^k=7^d mod100.
> Portanto, olhando mod100: B = 3^b * 7^d = 3^b * 3^k = 3^(b+k) mod 100.
Logo,
> B deve terminar com um dos termos da sequencia 2. Em particular, B tem um
> algarismo diferente de {1,3,7,9}.
>
> Ou seja, nao pode existir numero composto apenas de 1,3,7,9 sem fator
primo
> maior ou igual a 11, pois todos os numeros q nao possuem fatores primos
> maior ou igual a 11 possuem um digito par entre seus dois ultimos digitos.
> OBS: O fato B>10 foi usado para garantir que o 0 aparece na representação
> decimal do número.
>
>
>    5)Achar todas as funções f:N->N estritamente crescentes e tais que
> f(n+f(n))=2f(n) para n=1,2,3,...
>
> Vamos começar tentando dar um valor para f(0), por exemplo f(0)=a.
> Então, por um lado f(1+f(1))=2f(1) e por outro sabemos que f(1)>a, isto é,
> f(1) = a+p, p natural maior que zero.
> Substituindo, temos f(1+a+p)=2(a+p) => f(a+p+1) = (a+p)+(p+1).
> Agora, repare que devemos ter a+p=f(1)<f(2)<...<f(a+p+1)=(a+p)+(a+p). Em
> particular, todos esses valores devem ser naturais distintos.
> Tenho que assignar a+p-1 valores (para f(2), f(3), ... , f(a+p)).
> Temos exatamente a+p-1 opções possíveis  (a saber, (a+p)+1, (a+p)+2, ...,
> (a+p)+(a+p-1)).
> Portanto, como devemos ter f(2)<f(3)<...<f(a+p) e todas as opções devem
ser
> usadas, então devemos ter:
> f(2)=a+p+1, f(3)=a+p+2, ..., f(a+p)=a+p+(a+p-1). (lembre que
> f(a+p+1)=a+p+(a+p)
>
> E quanto valerá f(a+p+2) ?
> Ora, n + f(n) = a+p+3 => n + a+p+(n-2)=a+p+2 => 2n-2 = 2 => n=2. Logo,
> f(a+p+3)=f(2+f(2))=2f(2)=2(a+p+1)=a+p+(a+p+2).
> Segue pelo fato de f ser crescente que f(a+p+2)=a+p+(a+p+1).
>
> Analogamente, é sempre possível mostrar que se i for ímpar,
> f(a+p+i)=(a+p)+(a+p+i-1). E a partir daí, como todo par está entre dois
> impares consecutivos e pelo fato de f ser crescente, vemos que essa
relação
> vale ainda quando i é par.
> Logo, para todo n temos f(a+p+n)=(a+p)+(a+p+n-1).
>
> Reunindo tudo que foi descoberto, vemos que f deve ser da forma:
> f(0)=a;
> f(1)=a+p=b > a.
> f(2)=b+1;
> ...
> f(n)=b+n-1.
>
> Colocando na equacao funcional para ver se serve,
> n=0:
> f(0+f(0)) = f(a) = b+a-1 se a diferente de zero, e igual a 0 se a=0.
> Como queremos igualar essa valor a 2f(0) = 2a, temos duas opções :
> (1) se a=0, entao tudo ok.
> (2) caso contrário, deve ser b+a-1=2a donde b = a+1.
>
> Portanto, f deve ser de uma dessas duas formas :
> (1) f(0)=a, f(1)=a+1, ... , f(n)=a+n. nesse caso a equação funcional dá
> certo sempre, pois f(n+f(n))=f(n+a+n)=f(a+2n)=a+(a+2n)=2(a+n)=2f(n)
>
> (2) f(0)=0, f(1)=b, f(2)=b+1, ..., f(n)=b+(n-1) nesse caso, a equaçao
> funcional também é satisfeita, pois f(n+f(n)) =
> f(n+b+n-1)=f(b+2n-1)=b+(b+2n-1-1)=2(b+n-1)=2f(n).
>
>
> Portanto, as únicas funções que satisfazem as condições dadas são :
> (1) f:N->N, f(k)=a+k, onde a é uma constante natural arbitrária.
> (2) f:N->N, f(0)=0 e f(k)=b+(k-1) se k diferente de zero. (aqui b é uma
> constante arbitrária).
>
>
>
>