Alguns probleminhas interessantes

["Alexandre Gomes" <alexsgom@xxxxxxxxxxx>]

   Oi pessoal. Encontrei por aí alguns probleminhas interessantes. É 
interessante tentar resolvê-los.
   1) Seja B um inteiro maior que 10 tal que cada um dos seus dígitos 
pertence ao conjunto {1,3,7,9}. Demonstre que B tem um fator primo maior ou 
igual a 11.
   2) Provar que o número 1 pode ser escrito de uma infinidade de maneiras 
distintas na forma 1=1/5 + 1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an, onde a1,a2,...,an são 
inteiros positivos tais que 5<a1<a2<...<an.
   3)Sejam a e b inteiros positivos tais que a>b e a+b é par. Provar que as 
raízes da equação x^2-(a^2 - a + 1)(x - b^2 - 1)-(b^2 + 1)^2=0 são inteiros 
positivos, nenhuma das quais é um quadrado perfeito.
   4)Encontrar o valor da expressão (...(((2*3)*4)*5)*...)*1995, donde 
x*y=(x+y)/(1+xy) para todo x,y positivos.
   5)Achar todas as funções f:N->N estritamente crescentes e tais que 
f(n+f(n))=2f(n) para n=1,2,3,...

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