RES: Octógono

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

	Tente fazer o problema por trigonometria. Chame de x o angulo que OP (onde
O é o centro do circulo) forma com OG por exemplo. Desse jeito voce consegue
calcular quanto vale PG em funcao de sen(x/2). Mas aí, o angulo entre OP e
OH será x + 360/8 = x+45. Portanto voce também consegue descobrir quanto
vale PH em função de sen(x/2 +45). Analogamente, voce consegue calcular PA,
PB, PC, PD, PE, PF e obviamente, consegue tambem calcular os seus quadrados.

	Aí voce tem dois caminhos a seguir. Nesse seu caso particular de um
octógono, voce pode ir calculando tudo no braço mesmo e calcular quanto vale
a soma dos quadrados (que a princípio pode ser dada em função de x).
	Para tratar um caso geral, voce pode transformar cada sen^2 num cos usando
a expressão cosx = 1 - 2sen^2 (x/2).
Aí o problema passa a ser achar uma expressão que simplifique algo do tipo
cosa + cos(a+t) + cos(a+2t) + ... + cos(a+nt).
Isso voce pode fazer usando numeros complexos ou tentando multiplicar e
dividir a soma por algum termo de modo a torna-la "cancelável", ou
telescópica como se diz (nao é muito facil).
	Desculpe pela falta de detalhes... Qualquer duvida pergunte.
Abraços,
Marcio



-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Marcelo Souza
Enviada em: Sábado, 20 de Maio de 2000 16:29
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Octógono


E aê, galera!

     Será que alguém pode resolver este problema para mim?
1. Um octógono regular ABCDEFGH está inscrito num círculo de raio 1. P é um
ponto arbitrário no menor arco FG. Calcule o valor de:
PA^2 + PB^2 + PC^2 +....+ PH^2
Obrigado
Abraços
Marcelo
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