Re: Problema de inteiros

["Ecass Dodebel" <ecassdodebel@xxxxxxxxxxx>]

Caro Marcos Eike Tinen dos Santos,

concordo com a sua colocação de que importante é entender que quando 
mdc(x,y)>1 não podemos obter todos os números somando multiplos desses. 
Agora, tratemos do outro problema onde eu me compliquei todo:
queremos que ax + by = n, com mdc(x,y)=1 e a,b > 0, para isso temos que 
descobrir um N onde satisfazemos essas condições com o n > N.

Na minha solução acho que para N = 2xy sempre conseguimos, mas usei aquele 
processo que eu achei meio artificial e confuso de somar e diminuir axy... 
alguma outra idéia?

Obrigado!


>From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" <mjsanto@carajasnet.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: Problema de inteiros
>Date: Mon, 24 Apr 2000 19:31:30 -0300
>
>sim, amigo José, eu só comentei, pois acredito que este seja um dos pontos
>cruciais na solução do problema.
>
>
>Ats,
>Marcos Eike
>
>----- Original Message -----
>From: José Paulo Carneiro <jpcarneiro@openlink.com.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Segunda-feira, 24 de Abril de 2000 17:51
>Subject: Re: Problema de inteiros
>
>
> > Se nao forem primos entre si, eh falso. Como voce vai obter 5, que eh
>impar,
> > como uma soma de multiplos de 4 e 6?
> >
> > -----Mensagem original-----
> > De: Marcos Eike Tinen dos Santos <mjsanto@carajasnet.com.br>
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Data: Segunda-feira, 24 de Abril de 2000 11:06
> > Assunto: Re: Problema de inteiros
> >
> >
> > >Um dos fatos importantes a ser considerado, é: Por que o problema nos
>impõe
> > >a propriedade de que eles devem ser primos entre si. Será que foi por
> > acaso?
> > >Eu penso que essa resposta é a metade do caminho para uma solução bem
> > >formulada.
> > >
> > >Ats,
> > >Marcos Eike
> > >
> > >
> > >----- Original Message -----
> > >From: Ecass Dodebel <ecassdodebel@hotmail.com>
> > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >Sent: Sábado, 22 de Abril de 2000 17:42
> > >Subject: Problema de inteiros
> > >
> > >
> > >> E ai, pessoal?
> > >>
> > >> Eu estava tentando resolver um dos problemas propostos na última
>Eureka!
> > e
> > >> acabei chegando em uma parte que consigo seguir adiante mas é muito
> > >> trabalhosa a minha prova, e não sei se está bem certa. Lá vai.
> > >>
> > >> 1) Sejam x e y dois números primos entre si. Provar que podemos obter
> > >> qualquer número somando múltiplos de x e de y.
> > >>
> > >> Solução.
> > >> Queremos provar que para todo o x,y,n dados, podemos achar f e g de
>modo
> > >que
> > >>
> > >> fx + gy = n  ( a soma de múltiplos de x e de y dão o n )
> > >>
> > >> Isola-se o f, ou o g... no caso isolei o f:
> > >>
> > >> f = (n - gy)/x
> > >>
> > >> Agora nos basta encontrar g de modo que x | n - gy. Para quem sabe um
> > >> pouquinho de Teoria dos Números, eu acho que se variarmos o y num
>s.c.r.
> > >> então o n - gy será um s.c.r. módulo x, e estaria provado. Mas vamos
>por
> > >> partes:
> > >>
> > >> Suponhamos que
> > >>
> > >> n - g1y =/= n - g2y (mod x)    '=/= incongruente
> > >> g1y =/= g2y (mod x)  ==> afirmação similar a x não divide y(g1-g2)
> > >>
> > >> Como  mdc(x,y)=1 então
> > >>
> > >> g1 =/= g2 (mod x)
> > >>
> > >> Vale tambem que se g1 =/= g2 (mod x) então n - g1y =/= n - g2y (mod 
>x).
> > >> Agora escolhemos x números incongruentes módulo x (g1,...,gx), ou 
>seja,
> > >que
> > >> nunca deixem o mesmo resto na divisão por x. E necessariamente:
> > >>
> > >> n - giy =/= n - gjy (mod x) para todo o i e j
> > >>
> > >> Ou seja, nesses x números (n-g1y,...,n-gxy), todos são incongruentes
> > >módulo
> > >> x, e como existem apenas x restos possíveis na divisão por x,
> > >> necessariamente algum deles deixará resto zero na divisão por x, e
> > >portanto
> > >> haverá um g, tal que:
> > >>
> > >> f = (n - gy)/x será inteiro, e está provado o enunciado.
> > >>
> > >> 2) Sejam x e y dois números primos entre si. Prove que existe um N, 
>de
> > >modo
> > >> que para todo o n > N, podemos escolher múltiplos positivos de x e de 
>y
> > >que
> > >> somados dão n. Nessas condições teremos que ter
> > >>
> > >> Solução.
> > >> O problema pede para que mostremos que existem f e g positivos de 
>modo
> > >que,
> > >> para n > N
> > >>
> > >> fx + gy = n  (lembrando que é todo mundo inteiro nesse e-mail)
> > >>
> > >> A minha idéia é a seguinte, claramente xy - yx = 0, e portanto para
>todo
> > o
> > >a
> > >> vale axy - ayx = 0, daí:
> > >>
> > >> fx + gy + axy - ayx = n
> > >> (f + ay)x + (g - ax)y = n, para qualquer a que escolhermos
> > >>
> > >> Quero mostrar que existirá um a, a partir de um dado n, para que f + 
>ay
>e
> > >g
> > >> - ax sejam ambos positivos.
> > >>
> > >> Conseguimos escolher a de modo que (f + ay)x - (g - ax)y = fx - gy +
>2ayx
> > >> esteja entre -yx e yx, basta mostrar que nesse intervalo teremos f+ay 
>e
> > >g-ax
> > >> sempre positivos.
> > >>
> > >> Tanto f+ay quanto g-ax podem ficar entre [ n-xy ; n+xy ], ou seja 
>basta
> > >que
> > >> n-xy>0 e portanto que n > xy. Logo para N = xy vale o enunciado.
> > >>
> > >>
> > >> Obrigado para quem leu! E tem algum erro?
> > >> Valeu...
> > >>
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