Re: Problema de inteiros

["Marcos Eike Tinen dos Santos" <mjsanto@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Um dos fatos importantes a ser considerado, é: Por que o problema nos impõe
a propriedade de que eles devem ser primos entre si. Será que foi por acaso?
Eu penso que essa resposta é a metade do caminho para uma solução bem
formulada.

Ats,
Marcos Eike


----- Original Message -----
From: Ecass Dodebel <ecassdodebel@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sábado, 22 de Abril de 2000 17:42
Subject: Problema de inteiros


> E ai, pessoal?
>
> Eu estava tentando resolver um dos problemas propostos na última Eureka! e
> acabei chegando em uma parte que consigo seguir adiante mas é muito
> trabalhosa a minha prova, e não sei se está bem certa. Lá vai.
>
> 1) Sejam x e y dois números primos entre si. Provar que podemos obter
> qualquer número somando múltiplos de x e de y.
>
> Solução.
> Queremos provar que para todo o x,y,n dados, podemos achar f e g de modo
que
>
> fx + gy = n  ( a soma de múltiplos de x e de y dão o n )
>
> Isola-se o f, ou o g... no caso isolei o f:
>
> f = (n - gy)/x
>
> Agora nos basta encontrar g de modo que x | n - gy. Para quem sabe um
> pouquinho de Teoria dos Números, eu acho que se variarmos o y num s.c.r.
> então o n - gy será um s.c.r. módulo x, e estaria provado. Mas vamos por
> partes:
>
> Suponhamos que
>
> n - g1y =/= n - g2y (mod x)    '=/= incongruente
> g1y =/= g2y (mod x)  ==> afirmação similar a x não divide y(g1-g2)
>
> Como  mdc(x,y)=1 então
>
> g1 =/= g2 (mod x)
>
> Vale tambem que se g1 =/= g2 (mod x) então n - g1y =/= n - g2y (mod x).
> Agora escolhemos x números incongruentes módulo x (g1,...,gx), ou seja,
que
> nunca deixem o mesmo resto na divisão por x. E necessariamente:
>
> n - giy =/= n - gjy (mod x) para todo o i e j
>
> Ou seja, nesses x números (n-g1y,...,n-gxy), todos são incongruentes
módulo
> x, e como existem apenas x restos possíveis na divisão por x,
> necessariamente algum deles deixará resto zero na divisão por x, e
portanto
> haverá um g, tal que:
>
> f = (n - gy)/x será inteiro, e está provado o enunciado.
>
> 2) Sejam x e y dois números primos entre si. Prove que existe um N, de
modo
> que para todo o n > N, podemos escolher múltiplos positivos de x e de y
que
> somados dão n. Nessas condições teremos que ter
>
> Solução.
> O problema pede para que mostremos que existem f e g positivos de modo
que,
> para n > N
>
> fx + gy = n  (lembrando que é todo mundo inteiro nesse e-mail)
>
> A minha idéia é a seguinte, claramente xy - yx = 0, e portanto para todo o
a
> vale axy - ayx = 0, daí:
>
> fx + gy + axy - ayx = n
> (f + ay)x + (g - ax)y = n, para qualquer a que escolhermos
>
> Quero mostrar que existirá um a, a partir de um dado n, para que f + ay e
g
> - ax sejam ambos positivos.
>
> Conseguimos escolher a de modo que (f + ay)x - (g - ax)y = fx - gy + 2ayx
> esteja entre -yx e yx, basta mostrar que nesse intervalo teremos f+ay e
g-ax
> sempre positivos.
>
> Tanto f+ay quanto g-ax podem ficar entre [ n-xy ; n+xy ], ou seja basta
que
> n-xy>0 e portanto que n > xy. Logo para N = xy vale o enunciado.
>
>
> Obrigado para quem leu! E tem algum erro?
> Valeu...
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